1.23 Prove que
[
\frac{d}{d t}[\overrightarrow{\mathrm{r}} \cdot(\overrightarrow{\mathrm{v}} \times \overrightarrow{\mathrm{a}})]=\overrightarrow{\mathrm{r}} \cdot(\overrightarrow{\mathrm{v}} \times \dot{\overrightarrow{\mathrm{a}}})

Passo 1

Beleza, o problema quer que a gente prove a identidade
dd tl[vec rcdot(vec vtimesvec a)r] ;=;vec rcdotl(vec vtimesdotvec ar)
Aqui o conteúdo é derivada de produto escalar e de produto vetorial (aquelas regrinhas de “produto na regra da cadeia”), e a gente vai usar também que
, e é a derivada de .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a regra do produto escalar:
ddtl[vec rcdot(vec vtimesvec a)r] =dotvec rcdot(vec vtimesvec a) +vec rcdotddt(vec vtimesvec a)
Aí já usamos que .

Passo 3

Agora falta derivar o produto vetorial ddt(vec vtimesvec a) =dotvec vtimesvec a+vec vtimesdotvec a . Pela regra do produto vetorial:
ddt(vec vtimesvec a) =vec atimesvec a+vec vtimesdotvec a
E como , isso vira

Passo 4

Vamos juntar tudo:
ddt[vec rcdot(vec vtimesvec a)] =underbracevec vcdot(vec vtimesvec a)=0 +vec rcdotl(vec atimesvec a+vec vtimesdotvec ar)
Repare que (produto misto com duas vezes o mesmo vetor dá zero)
e também .

Resposta

Sobram só as parcelas não nulas, ou seja
ddt[vec rcdot(vec vtimesvec a)] =vec rcdot(vec vtimesdotvec a),
que é exatamente o que queríamos mostrar.

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