Uma onda harmônica de 7,54 m de comprimento de onda e 1,2 m de amplitude, se move ao longo de um segmento de 15 m de uma corda de 60 m que tem uma massa de 0,05 kg e sofre uma tração de 12 N .
Determine qual a rapidez e a frequência angular da onda. Calcule também a energia total média dessa onda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma onda harmônica que tem um comprimento de onda de 7,54 , m e uma amplitude de 1,2 , m. Essa onda está se movendo em um trecho de 15 , m de uma corda de 60 , m que pesa 0,05 , kg e está sob uma tração de 12 , N. Nosso objetivo é encontrar a rapidez da onda, a frequência angular e a energia total média dessa onda. Para isso, vamos precisar usar conceitos de ondas em cordas, velocidade de propagação, frequência e energia da onda.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a densidade linear da corda, que é a massa por unidade de comprimento. A densidade linear ( mu) é dada por:
mu = mL
Onde:
  • m = 0,05 , kg (massa da corda)
  • L = 60 , m (comprimento total da corda)

Passo 3

Substituindo os valores:
mu = 0,05 , kg60 , m = 0,000833 , kg/m

Passo 4

Agora, vamos calcular a rapidez ( v) da onda. A velocidade de uma onda em uma corda é dada por:
v = raizTmu
Onde:
  • T = 12 , N (tração na corda)
  • mu = 0,000833 , kg/m

Passo 5

Substituindo os valores:
v = raiz12 , N0,000833 , kg/m approx raiz14400 , m^2/s^2 = 120 , m/s

Passo 6

Agora, vamos determinar a frequência angular ( omega) da onda. Primeiro, encontramos a frequência ( f) usando a relação entre velocidade, comprimento de onda ( lambda) e frequência:
v = lambda cdot f implies f = vlambda
Onde:
  • v = 120 , m/s
  • lambda = 7,54 , m

Passo 7

Calculando a frequência ( f):
f = 120 , m/s7,54 , m approx 15,91 , Hz
Agora, a frequência angular ( omega) é dada por:
omega = 2pi f

Passo 8

Substituindo o valor de f:
omega = 2pi times 15,91 , Hz approx 100 , rad/s

Passo 9

Por último, vamos calcular a energia total média ( E) da onda. A energia média por unidade de comprimento para uma onda harmônica é:
u = 12 mu omega^2 A^2
Onde:
  • mu = 0,000833 , kg/m
  • omega = 100 , rad/s
  • A = 1,2 , m
Multiplicamos pela extensão da corda que a onda percorre, que é 15 , m.

Passo 10

Calculando a energia total média:
E = u cdot comprimento = 12 times 0,000833 , kg/m times (100 , rad/s)^2 times (1,2 , m)^2 times 15 , m
E = 0,5 times 0,000833 times 10000 times 1,44 times 15
E = 0,5 times 0,000833 times 10000 = 4,165
E = 4,165 times 1,44 = 5,999 , J
Arredondando, E approx 6,0 , J.

Resposta

A rapidez da onda é de 120 , m/s, a frequência angular é de aproximadamente 100 , rad/s e a energia total média da onda é de cerca de 6,0 , J.

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