(27) Em cada item a seguir, determine se os vetores dados são LI ou LD, justificando sua resposta.
(a)
e
.
(b)
e
(c)
e
.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado pede, para cada item, determinar se os vetores dados são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD), com justificativa. Dados:
(a) Os dois polinômios
(b) Os três polinômios
(c) Os três vetores em
O que se pede em cada item é simplesmente rotular LI ou LD e justificar matematicamente.
Passo 2
Lembrete didático rápido (definição e estratégias que vou usar).
- Definição: um conjunto de vetores é linearmente dependente (LD) se existem escalares não todos nulos tais que uma combinação linear deles seja o vetor nulo. Caso contrário é linearmente independente (LI), isto é, a única combinação que dá o vetor nulo é a trivial (todos os escalares iguais a zero).
- Estratégias práticas:
- Para dois vetores: verificar se um é múltiplo escalar do outro. Se sim, são LD; se não, são LI.
- Para polinômios de grau até
: identificá-los pelos vetores de coeficientes (constante, coeficiente de , de , de , …). Então resolver como um sistema linear nas componentes. - Para três vetores em
: pode-se calcular o determinante da matriz formada pelas coordenadas (se organizados como colunas ou linhas). Determinante zero implica LD; determinante não nulo implica LI. Outra opção é resolver diretamente a combinação linear que anula os vetores.
Agora aplico essas ideias item a item, mostrando todos os passos.
Passo 3
Item (a). Primeiro escrevo explicitamente os coeficientes dos polinômios (ordem: constante, coeficiente de
, de
, de
):
Procuro um escalar
tal que
. Calculo
dividido por
dá
. Verifico se multiplicando
por
obtemos exatamente
:
Como existe
com
, os vetores (polinômios) são linearmente dependentes. Conclusão do item (a): LD.
Passo 4
Item (b). Mapeio os polinômios em vetores de coeficientes (ordem: constante, coeficiente de
Quero saber se existem escalares
, não todos zero, tais que
como polinômio nulo. Isso gera o sistema linear de coeficientes (uma equação para cada grau):
),}\[4pt] 4a + 6b + 8c = 0 &(coeficiente de
),\[4pt] a - b + 3c = 0 &(coeficiente de
). \end{cases}]]
Passo 5
Resolvo o sistema do Passo 4. Uso a última equação para eliminar
:
Substituo
nas outras três equações.
Na primeira:
Com
e
, substituo na segunda equação para verificar consistência:
Substituindo
e
:
Isto implica
, logo
. Se
então
e
. Portanto a única solução é
.
Como a única combinação que zera os três polinômios é a combinação trivial, os vetores (polinômios) são linearmente independentes. Conclusão do item (b): LI.
Dica de prova curta para provas: montar o sistema de coeficientes e verificar se a única solução é trivial. Aqui mostrou-se que qualquer tentativa de encontrar solução não trivial leva a
e consequentemente aos outros coeficientes nulos.
Passo 6
Item (c). Para vetores em
Calculo o determinante
desenvolvendo pela primeira linha:
Agora cada determinante
:
Substituindo:
Determinante zero implica que os vetores são linearmente dependentes. Para ser mais explícito, encontro a dependência não trivial resolvendo
Escrevendo componentes:
Da terceira equação
,
Isto dá a relação não trivial
ou equivalentemente
Portanto os vetores são LD. Conclusão do item (c): LD.]
Resposta
(a) LD
(b) LI
(c) LD