(27) Em cada item a seguir, determine se os vetores dados são LI ou LD, justificando sua resposta.
(a) u=1-3 t+2 t^{2}-3 t^{3} e v=-3+9 t-6 t^{2}+9 t^{3}.
(b) u=t^{3}+4 t^{2}-2 t+3, \quad v=-t^{3}+6 t^{2}-t+4 \quad e \quad w=3 t^{3}+8 t^{2}-8 t+7
(c) u=(1,-2,1), \quad v=(2,1,-1) \quad e \quad w=(7,-4,1).

Passo 1

O enunciado pede, para cada item, determinar se os vetores dados são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD), com justificativa. Dados:
(a) Os dois polinômios
u(t)=1-3t+2t^{2}-3t^{3}, \qquad v(t)=-3+9t-6t^{2}+9t^{3}.
(b) Os três polinômios
u(t)=t^{3}+4t^{2}-2t+3, \qquad v(t)=-t^{3}+6t^{2}-t+4, \qquad w(t)=3t^{3}+8t^{2}-8t+7.
(c) Os três vetores em \mathbb{R}^{3}
u=(1,-2,1),\qquad v=(2,1,-1),\qquad w=(7,-4,1).
O que se pede em cada item é simplesmente rotular LI ou LD e justificar matematicamente.

Passo 2

Lembrete didático rápido (definição e estratégias que vou usar).
  • Definição: um conjunto de vetores é linearmente dependente (LD) se existem escalares não todos nulos tais que uma combinação linear deles seja o vetor nulo. Caso contrário é linearmente independente (LI), isto é, a única combinação que dá o vetor nulo é a trivial (todos os escalares iguais a zero).
  • Estratégias práticas:
    • Para dois vetores: verificar se um é múltiplo escalar do outro. Se sim, são LD; se não, são LI.
    • Para polinômios de grau até n: identificá-los pelos vetores de coeficientes (constante, coeficiente de t, de t^{2}, de t^{3}, …). Então resolver \alpha u+\beta v+\gamma w+\cdots=0 como um sistema linear nas componentes.
    • Para três vetores em \mathbb{R}^{3}: pode-se calcular o determinante da matriz formada pelas coordenadas (se organizados como colunas ou linhas). Determinante zero implica LD; determinante não nulo implica LI. Outra opção é resolver diretamente a combinação linear que anula os vetores.
Agora aplico essas ideias item a item, mostrando todos os passos.

Passo 3

Item (a). Primeiro escrevo explicitamente os coeficientes dos polinômios (ordem: constante, coeficiente de t, de t^{2}, de t^{3}):
u \longleftrightarrow (1,\,-3,\,2,\,-3), \qquad v \longleftrightarrow (-3,\,9,\,-6,\,9).
Procuro um escalar \lambda tal que v=\lambda u. Calculo -3 dividido por 1 -3. Verifico se multiplicando u por -3 obtemos exatamente v:
-3\cdot u = -3\cdot(1,-3,2,-3) = (-3,\,9,\,-6,\,9) = v.
Como existe \lambda=-3 com v=\lambda u, os vetores (polinômios) são linearmente dependentes. Conclusão do item (a): LD.

Passo 4

Item (b). Mapeio os polinômios em vetores de coeficientes (ordem: constante, coeficiente de t\), coeficiente de \(t^{2}\), coeficiente de \(t^{3}\)): \[u \longleftrightarrow (3,\,-2,\,4,\,1), \qquad v \longleftrightarrow (4,\,-1,\,6,\,-1), \qquad w \longleftrightarrow (7,\,-8,\,8,\,3).
Quero saber se existem escalares a,b,c, não todos zero, tais que
a\,u + b\,v + c\,w = 0
como polinômio nulo. Isso gera o sistema linear de coeficientes (uma equação para cada grau):
\begin{cases} 3a + 4b + 7c = 0 &\text{(coeficiente do termo constante),}\\[4pt] -2a - b -8c = 0 &\text{(coeficiente de \(t),}\[4pt] 4a + 6b + 8c = 0 &(coeficiente de t^{2}),\[4pt] a - b + 3c = 0 &(coeficiente de t^{3}). \end{cases}]]

Passo 5

Resolvo o sistema do Passo 4. Uso a última equação para eliminar a:
a - b + 3c = 0 \quad\Rightarrow\quad a = b - 3c.
Substituo a nas outras três equações.
Na primeira:
3(b-3c) + 4b + 7c = 0
3b -9c +4b +7c = 0
7b -2c = 0 \quad\Rightarrow\quad 7b = 2c \quad\Rightarrow\quad b = \frac{2}{7}c.
Com b=\frac{2}{7}c e a=b-3c=\frac{2}{7}c -3c = -\frac{19}{7}c, substituo na segunda equação para verificar consistência:
-2a - b -8c = 0.
Substituindo a e b:
-2\Big(-\frac{19}{7}c\Big) - \frac{2}{7}c -8c = 0
\frac{38}{7}c - \frac{2}{7}c -8c = 0
\frac{36}{7}c -8c = 0
\Big(\frac{36}{7} - \frac{56}{7}\Big)c = -\frac{20}{7}c = 0.
Isto implica -\frac{20}{7}c=0, logo c=0. Se c=0 então b=\frac{2}{7}c=0 e a=-\frac{19}{7}c=0. Portanto a única solução é a=b=c=0.
Como a única combinação que zera os três polinômios é a combinação trivial, os vetores (polinômios) são linearmente independentes. Conclusão do item (b): LI.
Dica de prova curta para provas: montar o sistema de coeficientes e verificar se a única solução é trivial. Aqui mostrou-se que qualquer tentativa de encontrar solução não trivial leva a c=0 e consequentemente aos outros coeficientes nulos.

Passo 6

Item (c). Para vetores em \mathbb{R}^{3}\) posso testar a independência calculando o determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são as coordenadas dos vetores. Formo a matriz com as colunas \(u,v,w\): \[M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 7\\[4pt] -2 & 1 & -4\\[4pt] 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Calculo o determinante \det(M) desenvolvendo pela primeira linha:
\det(M) = 1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -4\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & -4\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} +7\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}.
Agora cada determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}1 & -4\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix} = 1\cdot1 - (-4)(-1) = 1-4 = -3,
\det\begin{pmatrix}-2 & -4\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} = (-2)\cdot1 - (-4)\cdot1 = -2 +4 = 2,
\det\begin{pmatrix}-2 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix} = (-2)(-1) - 1\cdot1 = 2-1 = 1.
Substituindo:
\det(M) = 1\cdot(-3) - 2\cdot(2) + 7\cdot(1) = -3 -4 +7 = 0.
Determinante zero implica que os vetores são linearmente dependentes. Para ser mais explícito, encontro a dependência não trivial resolvendo
\alpha u + \beta v + \gamma w = 0.
Escrevendo componentes:
\begin{cases} \alpha + 2\beta + 7\gamma = 0,\\[4pt] -2\alpha + \beta -4\gamma = 0,\\[4pt] \alpha - \beta + \gamma = 0. \end{cases}
Da terceira equação \alpha = \beta - \gamma\]. Substituindo nas outras e resolvendo obtém-se, por exemplo, escolhendo \(\gamma=1,
\beta = -2,\qquad \alpha = -3.
Isto dá a relação não trivial
-3\,u -2\,v + 1\cdot w = 0,
ou equivalentemente
w = 3\,u + 2\,v.
Portanto os vetores são LD. Conclusão do item (c): LD.]

Resposta

(a) LD
(b) LI
(c) LD

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