(23) (a) Qual será a velocidade angular da barra quando esta fizer ângulo de 45^circ com a horizontal?\n(b) Encontre a equação de movimento (segunda lei de Newton) para o ângulo da barra com a horizontal, ou seja, como a aceleração angular da barra depende do ângulo com a horizontal.

Passo 1

Beleza, o enunciado é o seguinte: temos uma barra homogênea de massa e comprimento presa sem atrito numa das extremidades. Ela parte da posição completamente horizontal e cai sob ação da gravidade até formar um ângulo com a horizontal.
a) Queremos saber a velocidade angular da barra quando .
b) Precisamos montar a “equação de movimento” da barra, ou seja, como a aceleração angular depende de .
Conteúdo envolvido:
  • Energia potencial e energia cinética de rotação (conservação de energia)
  • Momento de inércia de uma barra em relação a uma extremidade
  • Torque da força peso e a 2ª lei de Newton para rotações ( )

Passo 2

Resolvendo a parte (a) com conservação de energia:
  1. Momento de inércia da barra em torno da extremidade fixa:
I = tfrac13,m,L^2
  1. Queda da barra de De (horizontal) até m g,De faz o centro de massa (CM) cair uma altura
m g,L2l(1-cos45^circr) =tfrac12!l(tfrac13 mL^2r),omega^2
  1. A perda de energia potencial vira energia cinética de rotação:
omega =raiz3gL,l(1-cos45^circr)
  1. Substituindo e :
  1. Cancela e isola :

Passo 3

Agora a parte (b), usando torque e a 2ª lei de Newton para rotações:
  1. A força peso tau = L2,mg;costheta age no CM, que está a uma distância tau = I,alpha do pivô. Quando a barra faz ângulo L2mgcostheta = 13mL^2,alpha longrightarrow alpha(theta) = tfracL2mgcosthetatfrac13mL^2 = 3g2Lcostheta com a horizontal, o braço de alavanca (ângulo entre peso e barra) dá torque
Aqui adotamos sinal positivo se a barra girar no sentido de aumentar .
  1. A 2ª lei de Newton para rotação diz
  1. Substituindo e :

Resposta

(a)
(b)

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