em função do tempo para uma dada partícula seja: r=(3 m / s) t i+(1 m / s^2) t^2 j. Escreva cada uma das grandezas abaixo, em função do tempo.
(a) O módulo da velocidade.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a posição de uma partícula varia assim:
r(t) = (3m/s),t,i ;+;(1m/s^2),t^2,j
O assunto aqui é Cinemática Vetorial: a gente vai pegar essa posição, derivar em função do tempo pra achar a velocidade e, depois, calcular o módulo dessa velocidade. Para isso precisamos lembrar de duas coisas básicas:
  1. Derivada de cada componente pra achar v(t)=dfracdvec rdt.
  2. Cálculo do módulo de um vetor em 2D: se vec v=(vx,vy), então |vec v|=raizvx^2+vy^2.

Passo 2

Primeiro vamos achar a velocidade vetorial. A velocidade é a derivada de vec r(t), componente a componente:
  • Para a parte em i: a derivada de (3,t) é 3.
  • Para a parte em j: a derivada de (t^2) é 2t, e o fator (1m/s^2) continua lá.
    Logo,
vec v(t) =dvec rdt =(3m/s),i ;+;(2,tm/s^2),j
Ou seja, vx=3m/s e vy=2tm/s.

Passo 3

Agora precisamos do módulo dessa velocidade. A fórmula é
|vec v(t)| = raizvx^2 + vy^2
Substituindo vx=3 e vy=2t, fica
|vec v(t)| = raiz(3)^2 + (2,t)^2

Passo 4

Simplificando dentro da raiz:
|vec v(t)| = raiz9 + 4,t^2
Não dá pra reduzir mais do que isso sem um valor numérico de .

Resposta

boxed|vec v(t)| = raiz9 + 4,t^2;m/s

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