Questão 1 - Para as equações diferenciais abaixo, prove se são lineares ou não lineares usando os princípios da aditividade e homogeneidade.
\frac{d y(t)}{d t}+0.1 y(t)=0.5 u(t)^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy(t)}{dt} + 0.1\,y(t) = 0.5\,u(t)^2
e pede para verificar se o sistema que mapeia u(t) em y(t) é linear, usando aditividade e homogeneidade. Para isso, vamos tratar o lado esquerdo como um operador linear em y e examinar se o termo de entrada 0.5\,u(t)^2 preserva aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Definimos o operador
\mathcal{L}[y](t) = \frac{dy(t)}{dt} + 0.1\,y(t).
A equação é
\mathcal{L}[y](t) = 0.5\,u(t)^2.
Sabemos que \mathcal{L} é linear em y, mas o sistema de entrada–saída será linear só se a parte que envolve u(t) também for linear, isto é, se o mapeamento
u(t)\;\mapsto\;0.5\,u(t)^2
satisfizer aditividade e homogeneidade.

Passo 3

Teste de aditividade. Suponha duas entradas u_1(t) e u_2(t) com seus respectivos termos de excitação
f_1(t)=0.5\,u_1(t)^2, \quad f_2(t)=0.5\,u_2(t)^2.
Para aditividade, precisamos que
f_1(t)+f_2(t) \;\overset{?}{=}\; 0.5\bigl(u_1(t)+u_2(t)\bigr)^2.
O lado direito é
0.5\bigl(u_1+u_2\bigr)^2 =0.5\bigl(u_1^2+2\,u_1u_2+u_2^2\bigr) =0.5\,u_1^2 + 0.5\,u_2^2 + u_1u_2,
que não coincide com
0.5\,u_1^2 + 0.5\,u_2^2 = f_1 + f_2
por causa do termo cruzado u_1u_2. Logo falha aditividade.

Passo 4

Teste de homogeneidade. Seja um escalar \alpha. O mapeamento deve satisfazer
f(\alpha\,u) \;\overset{?}{=}\; \alpha\,f(u).
Mas
f(\alpha\,u) =0.5\bigl(\alpha\,u\bigr)^2 =0.5\,\alpha^2\,u^2 \neq \alpha\cdot\bigl(0.5\,u^2\bigr)
a menos que \alpha^2=\alpha (isto é, \alpha=0 ou \alpha=1). Logo falha homogeneidade em geral.

Resposta

A equação diferencial não é linear, pois o termo 0.5\,u(t)^2 viola aditividade e homogeneidade.

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