Questão 1 - Para as equações diferenciais abaixo, prove se são lineares ou não lineares usando os princípios da aditividade e homogeneidade.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para verificar se o sistema que mapeia
em
é linear, usando aditividade e homogeneidade. Para isso, vamos tratar o lado esquerdo como um operador linear em
e examinar se o termo de entrada
preserva aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Definimos o operador
A equação é
Sabemos que
é linear em
, mas o sistema de entrada–saída será linear só se a parte que envolve
também for linear, isto é, se o mapeamento
satisfizer aditividade e homogeneidade.
Passo 3
Teste de aditividade. Suponha duas entradas
e
com seus respectivos termos de excitação
Para aditividade, precisamos que
O lado direito é
que não coincide com
por causa do termo cruzado
. Logo falha aditividade.
Passo 4
Teste de homogeneidade. Seja um escalar
. O mapeamento deve satisfazer
Mas
a menos que
(isto é,
ou
). Logo falha homogeneidade em geral.
Resposta
A equação diferencial não é linear, pois o termo
viola aditividade e homogeneidade.