E6.24 Considere o sistema representado na forma de variáveis de estado
\begin{aligned} & \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A x}+\mathbf{B} u \\\ & y=\mathbf{C x}+\mathbf{D} u, \end{aligned}
em que
\begin{gathered} \mathbf{A}=\left[\begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ -k & -k & -k \end{array}\right], \mathbf{B}=\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 0 \\\\ 1 \end{array}\right] \\\ \mathbf{C}=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \end{array}\right], \mathbf{D}=[0] . \end{gathered}
(a) Qual é a função de transferência do sistema? (b) Para quais valores de ko sistema é estável?

Passo 1

O enunciado dá um sistema em espaço de estados
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}u,\quad y=\mathbf{C}\mathbf{x}+\mathbf{D}u
com
\mathbf{A}=\begin{pmatrix}0&1&0\\\ 0&0&1\\\ -k&-k&-k\end{pmatrix},\; \mathbf{B}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\; \mathbf{C}=\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix},\; \mathbf{D}=[0].
Pede-se (a) a função de transferência G(s) e (b) para quais valores de k o sistema é estável. Vamos usar análise em frequência e o critério de Routh-Hurwitz.

Passo 2

Usando Laplace e desprezando condições iniciais, das equações de estado temos
x_1(s)=Y(s),\quad sX_1(s)=X_2(s),\quad sX_2(s)=X_3(s),\quad sX_3(s)=-kX_1(s)-kX_2(s)-kX_3(s)+U(s).
Substituindo X_2 e X_3 em termos de X_1 na última linha, obtém-se
s^3X_1(s)=-kX_1(s)-k\,sX_1(s)-k\,s^2X_1(s)+U(s).
Agrupando termos em X_1(s) e notando que Y(s)=X_1(s), vem
\bigl(s^3+k\,s^2+k\,s+k\bigr)Y(s)=U(s).

Passo 3

Da relação acima segue imediatamente
G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)} =\frac{1}{s^3 + k\,s^2 + k\,s + k}.

Passo 4

Para estudar estabilidade examinamos os polos, que são as raízes do polinômio
P(s)=s^3 + k\,s^2 + k\,s + k.
Aplicamos o critério de Routh–Hurwitz. A primeira coluna da tabela de Routh é:
s^3: 1 s^2: k s^1: \dfrac{k\cdot k -1\cdot k}{k}=k-1 s^0: k
A condição de estabilidade (todas as entradas da primeira coluna positivas) exige
1>0,\quad k>0,\quad k-1>0,\quad k>0\;\;\Longrightarrow\;\;k>1.

Resposta

(a) \displaystyle G(s)=\frac{1}{s^3 + k\,s^2 + k\,s + k}.
(b) O sistema é assintoticamente estável para \,k>1.

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