23- Uma Usina utiliza um determinado produto químico durante o processo de fabricação. O produto é encomendado a cada 30 dias, durante a visita do representante do fornecedor. A entrega é feita então após 10 dias. O consumo diário pode ser aproximado por uma normal, com média de 15 litros e desvio padrão de 5 litros. Não mais que 3 \% é o risco aceitável para falta de estoque. Para a presente encomenda, a revisão mostrou que restam ainda em estoque 300 litros do produto.
c) Qual deve ser o estoque de segurança?
a) Qual o nível de referência para o produto?
b) Quantos litros devem ser encomendados no presente pedido?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e perguntas.
Informações fornecidas:
  • A usina faz encomendas a cada 30 dias (intervalo de revisão T = 30 dias).
  • O tempo de entrega (lead time) é de 10 dias ( L = 10 dias).
  • Consumo diário aproximado por uma normal com média \mu = 15 litros/dia e desvio padrão \sigma = 5 litros/dia.
  • Risco aceitável de falta de estoque (probabilidade de faltar) é no máximo 3\%.
  • Estoque atual antes de encomend ar: 300 litros.
Perguntas (pedidos do enunciado):
  • (c) Qual deve ser o estoque de segurança?
  • (a) Qual o nível de referência para o produto?
  • (b) Quantos litros devem ser encomendados no presente pedido?

Passo 2

Escolha do método (breve justificativa): como a usina só faz pedidos a cada T=30 dias, estamos num modelo de revisão periódica (modelo "revisão a cada T, encomenda para elevar até um nível S"). Nesse modelo, quando se faz um pedido no instante de revisão, o objetivo é cobrir a demanda até a próxima entrega e até a próxima oportunidade de revisão — na prática usamos o período de cobertura igual a L+T. Assim vamos calcular o estoque de segurança que garanta que a probabilidade de faltar durante o período de cobertura L+T seja, no máximo, 3\%, e o nível de referência (valor alvo / order-up-to) será a demanda esperada em L+T mais o estoque de segurança. Em seguida calculamos quanto pedir a partir do estoque atual.

Passo 3

Conceitos e fórmulas fundamentais (aula rápida, sem pular etapas):
  1. Soma de demandas diárias independentes: se a demanda diária é normal com média \mu e desvio \sigma, a demanda total em n dias é normal com média
\mu_{n} = n\mu
e desvio padrão
\sigma_{n} = \sigma\sqrt{n}.
Explicação: variâncias somam para variáveis independentes; variância diária é \sigma^2, então variância em n dias é n\sigma^2, daí o desvio padrão é \sigma\sqrt{n}.
  1. Estoque de segurança para serviço desejado: se queremos que a probabilidade de demanda exceder o estoque durante o período de cobertura seja \alpha (aqui \alpha=0{,}03), então queremos que a probabilidade de cobertura seja 1-\alpha. Chamamos z o quantil da normal padrão tal que \Pr(Z \le z) = 1-\alpha. O estoque de segurança (SS) é
\text{SS} = z\cdot \sigma_{período},í
onde \sigma_{período}í é o desvio padrão da demanda no período de cobertura.
  1. Nível de referência (order-up-to S) no modelo periódico:
S = \mu_{período} + \text{SS},í
onde \mu_{período}í é a média da demanda no período de cobertura.
  1. Quantidade a encomendar no presente pedido (ao revisar) é
Q = S - \text{estoque atual},
se positivo; caso contrário não encomenda.

Passo 4

Definir o período de cobertura e calcular parâmetros do período:
  • Período de cobertura = L + T = 10 + 30 = 40 dias. Vou denotar n = 40.
Média da demanda no período:
\mu_{40} = n\mu = 40\cdot 15.
Calculemos:
\mu_{40} = 40\cdot 15 = 600\\ \text{litros}.

Passo 5

Desvio padrão da demanda no período de 40 dias:
\sigma_{40} = \sigma\sqrt{n} = 5\sqrt{40}.
Calculemos passo a passo: \sqrt{40} = \sqrt{4\cdot 10} = 2\sqrt{10}. Sabendo \sqrt{10}\approx 3{,}1623 temos \sqrt{40}\approx 6{,}3249. Então
\sigma_{40} \approx 5\cdot 6{,}3249 \approx 31{,}62\\ \text{litros}.

Passo 6

Determinar o quantil z correspondente ao nível de serviço desejado:
  • Risco aceitável de falta =0{,}03 significa nível de serviço (1-0{,}03)=0{,}97.
  • Procuro z tal que \Phi(z)=0{,}97. Pela tabela da normal padrão ou memória, z\approx 1{,}8808.
Vou usar z\approx 1{,}8808.

Passo 7

Calcular o estoque de segurança (resposta da letra c):
\text{SS} = z\cdot \sigma_{40} \approx 1{,}8808\cdot 31{,}62 \approx 59{,}5\\ \text{litros}.
Interpretação prática e arredondamento: em inventário normalmente arredonda-se para cima para garantir o nível de serviço, então podemos tomar \text{SS}\approx 60 litros. (Se ficar exato em litros inteiros, pedir 60 L de segurança garante que o risco real fique ao redor ou abaixo de 3\%.)

Passo 8

Calcular o nível de referência (order-up-to S) — resposta da letra a:
S = \mu_{40} + \text{SS} \approx 600 + 59{,}5 \approx 659{,}5\\ \text{litros}.
Arredondando para cima para ter estoque suficiente, S\approx 660 litros. Esse é o nível até o qual devemos elevar a posição de estoque no momento do pedido.

Passo 9

Calcular quantos litros devem ser encomendados no presente pedido — resposta da letra b:
  • Estoque atual =300 litros. Desejamos elevar até S\approx 659{,}5 litros.
Q = S - \text{estoque atual} \approx 659{,}5 - 300 = 359{,}5\\ \text{litros}.
Arredondando para cima (para não correr risco de faltar), pedir Q\approx 360 litros.

Resposta

c) 60 litros
a) 660 litros
b) 360 litros

Exercícios relacionados