(24.47) Um fio reto longo é circundado por um cilindro de metal, oco e longo,
cujo eixo coincide com o do fio. O fio tem uma carga por unidade de comprimento de
, e o cilindro tem uma carga resultante por unidade de comprimento de
. A partir dessa informação, use a lei de Gauss para encontrar (a) a carga por unidade de comprimento nas superfícies interior e exterior do cilindro e (b) o campo eléctrico fora do cilindro, a uma distância
do eixo. Resposta: (a)
na superfície interior e
na superfície exterior (b)
, radialmante para fora.
cujo eixo coincide com o do fio. O fio tem uma carga por unidade de comprimento de
Passo 1
Então beleza, o enunciado diz que temos um fio longo e reto com carga por comprimento λ, envolvido por um cilindro metálico oco e coaxial que, como um todo, tem carga por comprimento 2λ. A gente precisa usar a lei de Gauss para achar:
(a) quanto de carga (por unidade de comprimento) fica na superfície interna do cilindro e quanto fica na externa;
(b) o campo elétrico fora do cilindro, a uma distância r do eixo.
Conteúdo: lei de Gauss e propriedades de condutor em equilíbrio eletrostático (campo zero dentro do metal).
(a) quanto de carga (por unidade de comprimento) fica na superfície interna do cilindro e quanto fica na externa;
(b) o campo elétrico fora do cilindro, a uma distância r do eixo.
Conteúdo: lei de Gauss e propriedades de condutor em equilíbrio eletrostático (campo zero dentro do metal).
Passo 2
Primeiro, lembra que num condutor em equilíbrio o campo elétrico no interior do material é zero. Se a gente coloca uma superfície gaussiana logo dentro da espessura do cilindro (ou seja, no “meio” do metal), o campo ali vale zero. Pela lei de Gauss:
Como
nessa superfície, o fluxo é zero, logo
.
Mas inclui a carga do fio (λ) e a carga na face interna do cilindro (digamos
). Então:
Mas
Ou seja, a superfície interna pega carga
.
Passo 3
Sabendo que o cilindro como um todo tem carga total por comprimento
, a soma das cargas interna e externa deve dar
:
Passo 4
Agora vamos achar o campo elétrico para
fora do cilindro. Escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio
(maior que o raio externo do cilindro) e comprimento
. O campo é radial e constante nessa superfície, então:
O
é a soma das três cargas lineares: do fio (
), da face interna do cilindro (
) e da face externa (
). Somando dá
.
Logo
Logo
O campo aponta radialmente para fora.
Resposta
(a) Carga por comprimento na superfície interna:
.
Na superfície externa: .
(b) , radialmente para fora.
Na superfície externa:
(b)