(24.47) Um fio reto longo é circundado por um cilindro de metal, oco e longo,
cujo eixo coincide com o do fio. O fio tem uma carga por unidade de comprimento de lambda, e o cilindro tem uma carga resultante por unidade de comprimento de 2 lambda. A partir dessa informação, use a lei de Gauss para encontrar (a) a carga por unidade de comprimento nas superfícies interior e exterior do cilindro e (b) o campo eléctrico fora do cilindro, a uma distância
r do eixo. Resposta: (a) -lambda na superfície interior e 3 lambda na superfície exterior (b) 3 lambda2 pi varepsilon0 r, radialmante para fora.

Passo 1

Então beleza, o enunciado diz que temos um fio longo e reto com carga por comprimento λ, envolvido por um cilindro metálico oco e coaxial que, como um todo, tem carga por comprimento 2λ. A gente precisa usar a lei de Gauss para achar:
(a) quanto de carga (por unidade de comprimento) fica na superfície interna do cilindro e quanto fica na externa;
(b) o campo elétrico fora do cilindro, a uma distância r do eixo.
Conteúdo: lei de Gauss e propriedades de condutor em equilíbrio eletrostático (campo zero dentro do metal).

Passo 2

Primeiro, lembra que num condutor em equilíbrio o campo elétrico no interior do material é zero. Se a gente coloca uma superfície gaussiana logo dentro da espessura do cilindro (ou seja, no “meio” do metal), o campo ali vale zero. Pela lei de Gauss:
oint Ecdot dA = Qintvarepsilon0
Como lambda + lambdaint = 0 Longrightarrow lambdaint = -lambda nessa superfície, o fluxo é zero, logo .
Mas inclui a carga do fio (λ) e a carga na face interna do cilindro (digamos ). Então:
Ou seja, a superfície interna pega carga .

Passo 3

Sabendo que o cilindro como um todo tem carga total por comprimento lambdaint + lambdaext = 2lambda Longrightarrow -lambda + lambdaext = 2lambda Longrightarrow lambdaext = 3lambda , a soma das cargas interna e externa deve dar :

Passo 4

Agora vamos achar o campo elétrico para oint Ecdot dA = E(r), (2pi r L) = Qencvarepsilon0 fora do cilindro. Escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio E(r),2pi r L = 3lambda Lvarepsilon0 Longrightarrow E(r) = 3lambda2pivarepsilon0,r (maior que o raio externo do cilindro) e comprimento . O campo é radial e constante nessa superfície, então:
O é a soma das três cargas lineares: do fio ( ), da face interna do cilindro ( ) e da face externa ( ). Somando dá
.
Logo
O campo aponta radialmente para fora.

Resposta

(a) Carga por comprimento na superfície interna: .
  Na superfície externa: .
(b) , radialmente para fora.

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