Determine a equação da linha de força que passa pelo ponto (1, 2, 3) no campo:
(a) E=y ax+x ay;
(b) E=(x+y) ax+(x-y) ay.

Passo 1

O exercício pede pra achar a linha de força (ou linha de campo) que passa pelo ponto dxEx ;=;dyEy;=;dzEz em dois campos 2D (com componente ), só que dependendo de . Matematicamente a linha de força é uma curva cuja tangente a cada ponto é paralela ao vetor campo, ou seja
Aqui vamos usar essa relação pra cada caso, integrar e achar a equação que relaciona e (e, já que , teremos constante). Não pressupõe que você já manja essas integrais: vamos explicar cada passinho.

Passo 2

Parte (a): dxy = dyx = dz0
  1. Escrevendo as frações da linha de força: x,dx = y,dy
  2. Do integral x,dx = integral y,dy Longrightarrow x^22 = y^22 + C ;Longrightarrow; x^2 - y^2 = C' , dá 1^2 - 2^2 = C' ;Longrightarrow; C' = -3, z=3
  3. Integramos os dois lados: x^2 - y^2 = -3, z=3
  4. Como constante, e a curva tem que passar por , plugamos nesse :
Logo, para (a) a linha de força é

Passo 3

Parte (b): dx,x+y, = dy,x-y, = dz0
  1. Frações da linha de força: dydx = u + xdudx
  2. Da primeira igualdade, u + xdudx = x - ux,x + ux, = 1-u1+u
  3. Vamos resolver esse ODE por substituição xdudx = 1-u1+u - u = 1-u - u(1+u)1+u = 1 -2u -u^21+u = -,(u+1)^2 -21+u = -,(u+1) + 21+u , então du-,(u+1) + tfrac21+u = dxx e integral w2 - w^2,dw = integral dxx
  4. Substituindo na equação: -tfrac12 ln|2 - w^2| = ln|x| + C ;Longrightarrow; 2 - w^2 = K,x^-2 Passo a passo: 2 - l(yx + 1r)^2 = Kx^2 ;Longrightarrow; (y+x)^2 - 2x^2 = C
  5. Então (2+1)^2 - 2cdot1^2 = C ;Longrightarrow; 9 -2 = 7, z=3 Juntando o denominador num só termo e trocando de variável , reduz pra
  6. Integral (usando ) dá
  7. Voltando a :
  8. Como constante e o ponto é , plugamos:

Resposta

(a)
(b)

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