Determine a equação da linha de força que passa pelo ponto
no campo:
(a)
;
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
O exercício pede pra achar a linha de força (ou linha de campo) que passa pelo ponto
em dois campos 2D (com componente
), só que dependendo de
. Matematicamente a linha de força é uma curva cuja tangente a cada ponto é paralela ao vetor campo, ou seja
Aqui vamos usar essa relação pra cada caso, integrar e achar a equação que relaciona
e
(e, já que
, teremos
constante). Não pressupõe que você já manja essas integrais: vamos explicar cada passinho.
Passo 2
Parte (a):
- Escrevendo as frações da linha de força:
- Do
, dá - Integramos os dois lados:
- Como
dá constante, e a curva tem que passar por , plugamos nesse :
Logo, para (a) a linha de força é
Passo 3
Parte (b):
- Frações da linha de força:
- Da primeira igualdade,
- Vamos resolver esse ODE por substituição
, então e - Substituindo na equação:
Passo a passo: - Então
Juntando o denominador num só termo e trocando de variável , reduz pra - Integral (usando
) dá - Voltando a
: - Como
constante e o ponto é , plugamos:
Resposta
(a)
(b)
(b)