6.24 Uma barra cilíndrica com 120 mm de comprimento e diâmetro de 15,0 \mathrm{~mm} deve ser deformada utilizando-se uma carga de tração de 35.000 N . Ela não deve sofrer deformação plástica, e a redução no seu diâmetro não deve ser superior a 1,2 \times 10^{-2} \mathrm{~mm}. Entre os materiais listados a seguir, quais são possíveis candidatos? Justifique sua(s) escolha(s).
Módulo de
Elasticidade
(GPa)
Resistência ao
Escoamento
(MPa)
Coeficiente
de Poisson
Material 70 250 0,33
Liga de alumínio 105 850 0,36
Liga de titânio 205 550 0,27
Liga de aço 45 170 0,35
Liga de magnésio 45

Passo 1

O enunciado pede: identificar quais dos materiais listados são possíveis candidatos para uma barra cilíndrica que, sob uma carga de tração, não deve sofrer deformação plástica e cuja redução de diâmetro não deve exceder 1,2\times10^{-2}\,\mathrm{mm}.
Informações dadas (retirei diretamente da tabela fornecida):
\text{Comprimento } L = 120\,\mathrm{mm} \quad,\quad \text{Diâmetro } d = 15{,}0\,\mathrm{mm}â
\text{Força de tração } F = 35\,000\,\mathrm{N}ççã
Limite máximo da redução de diâmetro:
\Delta d_{\max}=1{,}2\times10^{-2}\,\mathrm{mm}.
Dados dos materiais (valores retirados da tabela):
\begin{array}{lccc} \hline \text{Nome (como na tabela)} & E\;(\text{GPa}) & \text{Resistência ao escoamento }\sigma_y\;(\text{MPa}) & \nu\\\ \hline \text{Material} & 70 & 250 & 0{,}33\\\ \text{Liga de alumínio} & 105 & 850 & 0{,}36\\\ \text{Liga de titânio} & 205 & 550 & 0{,}27\\\ \text{Liga de aço} & 45 & 170 & 0{,}35\\\ \text{Liga de magnésio} & 45 & \text{(não fornecido)} & \text{(não fornecido)}\\\ \hline \end{array}
Observações importantes já nesta etapa:
  • Peguei os valores numéricos da tabela fornecida acima.
  • Para a “Liga de magnésio” faltam \sigma_y e \nu; por isso, se for necessário o valor desses parâmetros, não será possível afirmar sem essa informação.

Passo 2

Definir as condições exigidas e as fórmulas que vamos usar (aulas rápidas e intuitivas):
  1. Condição de não haver escoamento (nenhuma deformação plástica):
  • A tensão média axial gerada pela força deve ser menor que a resistência ao escoamento do material. Fórmula da tensão média:
\sigma = \frac{F}{A},
onde A é a área da seção transversal da barra. Para um cilindro de diâmetro d:
A = \frac{\pi d^2}{4}.
Se \sigma < \sigma_y (resistência ao escoamento), o material permanece no regime elástico — ou seja, sem escoamento plástico.
  1. Condição sobre redução do diâmetro (elasticidade e Lei de Hooke com Poisson):
  • Em regime elástico linear, a deformação axial (alongamento relativo) é dada por Hooke:
\varepsilon_{\text{axial}} = \frac{\sigma}{E},
onde E é o módulo de Young (módulo de elasticidade).
  • O coeficiente de Poisson \nu relaciona a contração lateral à deformação axial:
\varepsilon_{\text{lateral}} = -\nu\,\varepsilon_{\text{axial}} = -\nu\frac{\sigma}{E}.
  • A variação absoluta de diâmetro (módulo) será:
\Delta d = |\varepsilon_{\text{lateral}}|\,d = \nu\frac{\sigma}{E}\,d.
Devemos exigir \Delta d \le \Delta d_{\max}.
Resumo: calcular \sigma, comparar com cada \sigma_y; se \sigma<\sigma_y então calcular \Delta d=\nu\frac{\sigma}{E}d e verificar \Delta d\le 1{,}2\times10^{-2}\,\mathrm{mm}.

Passo 3

Calcular a área da seção transversal e a tensão axial numérica (mostrando conversões de unidade):
Diâmetro d = 15{,}0\,\mathrm{mm} = 15{,}0\times10^{-3}\,\mathrm{m}.
Área:
A=\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi (15{,}0\times10^{-3})^2}{4}.
Calculemos passo a passo:
d^2=(15{,}0\times10^{-3})^2 = 225{,}0\times10^{-6}\,\mathrm{m}^2 = 2{,}25\times10^{-4}\,\mathrm{m}^2.
A=\frac{\pi}{4}\cdot2{,}25\times10^{-4}=\pi\cdot5{,}625\times10^{-5}\,\mathrm{m}^2.
A\approx 3{,}1416\cdot5{,}625\times10^{-5}=1{,}7671\times10^{-4}\,\mathrm{m}^2.
Tensão axial:
\sigma=\frac{F}{A}=\frac{35\,000}{1{,}7671\times10^{-4}}\,\mathrm{Pa}.
\sigma\approx1{,}98155\times10^{8}\,\mathrm{Pa}=198{,}2\,\mathrm{MPa}.
Interpretação: sob a carga dada a barra vê uma tensão média de aproximadamente \sigma\approx198{,}2\,\mathrm{MPa}. Esse valor vamos comparar com cada \sigma_y da tabela.

Passo 4

Verificação da condição de não-escoamento ( \sigma<\sigma_y) para cada material (usando \sigma=198{,}2\,\mathrm{MPa}):
  • Linha “Material”: \sigma_y=250\,\mathrm{MPa}. Temos 198{,}2<250 → permanece elástico (OK por essa condição).
  • Liga de alumínio: \sigma_y=850\,\mathrm{MPa}. 198{,}2<850 → permanece elástico (OK).
  • Liga de titânio: \sigma_y=550\,\mathrm{MPa}. 198{,}2<550 → permanece elástico (OK).
  • Liga de aço: \sigma_y=170\,\mathrm{MPa}. 198{,}2>170 → ultrapassa \sigma_y; haverá escoamento plástico (não serve).
  • Liga de magnésio: \sigma_y não fornecido → não é possível concluir se escoa ou não sem essa informação.
Portanto, provisoriamente os candidatos que passam na verificação do limite de escoamento são: “Material” (a linha com E=70,\\ \sigma_y=250,\\ \nu=0{,}33), “Liga de alumínio” e “Liga de titânio”. A “Liga de aço” está imediatamente descartada por escoamento. A “Liga de magnésio” não pode ser avaliada por falta de dados.

Passo 5

Agora verificar a segunda condição (redução de diâmetro) para os materiais que passaram na condição de escoamento. Lembrando a fórmula:
\Delta d = \nu\frac{\sigma}{E}d.
Atenção às unidades: usar E em Pa ( 1\,\mathrm{GPa}=10^9\,\mathrm{Pa}), d em metros; o resultado vem em metros e depois convertemos para mm.
Reescrevendo dados constantes:
\sigma=198{,}155\times10^{6}\,\mathrm{Pa},\qquad d=15{,}0\times10^{-3}\,\mathrm{m},\qquad \Delta d_{\max}=1{,}2\times10^{-5}\,\mathrm{m}.
(obs.: \Delta d_{\max} em metros é 1{,}2\times10^{-2}\,\mathrm{mm}=1{,}2\times10^{-5}\,\mathrm{m}.)
Calculemos para cada candidato:
a) Linha “Material” ( E=70\,\mathrm{GPa}=70\times10^{9}\,\mathrm{Pa}, \nu=0{,}33):
\Delta d = 0{,}33\cdot\frac{198{,}155\times10^{6}}{70\times10^{9}}\cdot15{,}0\times10^{-3}\,\mathrm{m}.
Calcule passo a passo:
\frac{\sigma}{E}=\frac{198{,}155\times10^{6}}{70\times10^{9}}=0{,}0028308\;( \text{adimensional} ).
\nu\frac{\sigma}{E}=0{,}33\cdot0{,}0028308=0{,}0009347.
\Delta d = 0{,}0009347\cdot15{,}0\times10^{-3}=1{,}401\times10^{-5}\,\mathrm{m}=0{,}01401\,\mathrm{mm}.
Comparação com o máximo: 0{,}01401\,\mathrm{mm} > 0{,}012\,\mathrm{mm}. Portanto a “Material” (linha com E=70) NÃO atende à restrição de redução de diâmetro.
b) Liga de alumínio ( E=105\,\mathrm{GPa}=105\times10^{9}\,\mathrm{Pa}, \nu=0{,}36):
\frac{\sigma}{E}=\frac{198{,}155\times10^{6}}{105\times10^{9}}=0{,}0018872.
\nu\frac{\sigma}{E}=0{,}36\cdot0{,}0018872=0{,}0006794.
\Delta d = 0{,}0006794\cdot15{,}0\times10^{-3}=1{,}0191\times10^{-5}\,\mathrm{m}=0{,}01019\,\mathrm{mm}.
Comparação: 0{,}01019\,\mathrm{mm} \le 0{,}012\,\mathrm{mm}. Portanto a Liga de alumínio atende à restrição de redução de diâmetro.
c) Liga de titânio ( E=205\,\mathrm{GPa}=205\times10^{9}\,\mathrm{Pa}, \nu=0{,}27):
\frac{\sigma}{E}=\frac{198{,}155\times10^{6}}{205\times10^{9}}=0{,}00096784.
\nu\frac{\sigma}{E}=0{,}27\cdot0{,}00096784=0{,}00026122.
\Delta d = 0{,}00026122\cdot15{,}0\times10^{-3}=3{,}9183\times10^{-6}\,\mathrm{m}=0{,}003918\,\mathrm{mm}.
Comparação: 0{,}003918\,\mathrm{mm} \le 0{,}012\,\mathrm{mm}. Portanto a Liga de titânio atende à restrição de redução de diâmetro.

Passo 6

Conclusão lógica (juntando ambas as condições):
  • Para ser candidato válido é preciso atender às duas condições simultaneamente:
    1. \sigma<\sigma_y (sem escoamento),
    2. \Delta d \le 1{,}2\times10^{-2}\,\mathrm{mm}.
Dos materiais verificados:
  • “Material” ( E=70,\\ \sigma_y=250,\\ \nu=0{,}33): passa na condição 1 mas falha na condição 2 (redução do diâmetro é 0{,}01401\,\mathrm{mm} que é maior que o permitido). Logo NÃO é candidato.
  • Liga de alumínio: passa em 1 e em 2 ( \Delta d\approx0{,}01019\,\mathrm{mm}). Logo É candidato.
  • Liga de titânio: passa em 1 e em 2 ( \Delta d\approx0{,}003918\,\mathrm{mm}). Logo É candidato.
  • Liga de aço: falha na condição 1 (escoa), portanto NÃO é candidata, independentemente da contração lateral.
  • Liga de magnésio: falta \sigma_y e \nu (dados incompletos). Não é possível decidir se é candidata sem esses valores.

Resposta

Liga de alumínio
Liga de titânio
“Material” (linha com E=70\,\mathrm{GPa},\\ \sigma_y=250\,\mathrm{MPa},\\ \nu=0{,}33): não candidata (redução de diâmetro =0{,}01401\,\mathrm{mm} > 0{,}012\,\mathrm{mm})
Liga de aço: não candidata (escoamento, \sigma=198{,}2\,\mathrm{MPa}>\sigma_y=170\,\mathrm{MPa})
Liga de magnésio: não é possível determinar (falta \sigma_y e \nu na tabela)

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