Para uma placa de alumínio com uma trinca central de 5 mm e largura de 15 mm , determine:
a. O tamanho crítico deslocamento da abertura da ponta trinca, CTOD. (R.
)
b. O tamanho da zona plástica. (R.
)
c. A tensão crítica. (R.
)
Para o estado de deformação plana:
.
a. O tamanho crítico deslocamento da abertura da ponta trinca, CTOD. (R.
b. O tamanho da zona plástica. (R.
c. A tensão crítica. (R.
Passo 1
O enunciado dá uma placa de alumínio com uma trinca central e pede três coisas: (a) o deslocamento crítico de abertura da ponta de trinca (CTOD), (b) o tamanho da zona plástica em torno da ponta da trinca e (c) a tensão crítica de fratura. Os dados fornecidos são:
Também é informado que a trinca central tem comprimento total de
e a largura da placa é
. Vou interpretar a trinca central de
como comprimento total
, portanto a meia-comprimento é
A largura total da placa é
; quando for necessário usar a fórmula que emprega a meia-largura
(meia largura da tira), vou tomar
Passo 2
Entender o que é CTOD e a relação usada:
- CTOD (crack tip opening displacement) é a abertura na ponta da trinca quando a fratura está prestes a ocorrer. Para estimativas em regime de pequenas zonas plásticas (small-scale yielding) existe uma expressão prática que relaciona
, a tensão de escoamento e o módulo de elasticidade com a CTOD crítica . - Uma fórmula frequentemente usada (estimativa elástico-plástica simples, muito utilizada em engenharia) é
Breve justificativa didática: a escala de abertura na ponta da trinca é proporcional à energia disponível por unidade de volume elástico-plástico, e
tem dimensões de comprimento e representa essa escala; o fator
vem de análises aproximadas (Irwin/Dugdale) para CTOD em modo I.
Agora calculamos passo a passo. Primeiro colocamos tudo no SI:
Aplicando a fórmula:
Calculemos o numerador interno:
O denominador:
A razão:
Multiplicando pelo fator
:
Convertendo para micrômetros:
Comentário motivador: então a abertura é da ordem de algumas dezenas de micrômetros — pequena, mas significativa para o início de fratura.
Passo 3
Determinar a zona plástica em torno da ponta da trinca:
- A teoria simples de zonas plásticas de Irwin dá uma estimativa do raio da zona plástica
na ponta de trinca. Existem duas fórmulas clássicas: - Para estado de tensão plana (plane stress):
- Para estado de deformação plana (plane strain) a zona é menor, frequentemente dada por
(ou seja, aproximadamente um terço da zona em plane stress).
- Para estado de tensão plana (plane stress):
- A resposta numérica pedida corresponde à fórmula de plane stress (resultado típico usado para estimativa prática se a placa é delgada), então vou usar a expressão de plane stress:
Calculemos:
Então
Multiplicando pelo fator
:
Convertendo para milímetros:
Observação didática: se o problema fosse explicitamente de plane strain, usaríamos
. A diferença reflete que em plane strain a constrição da deformação reduz a zona plástica.
Passo 4
Calcular a tensão crítica
que faz
atingir
para a trinca dada:
- A relação geral do fator de intensidade de tensão para um modo I é
onde
é um fator geométrico (adiimensional) que depende da geometria da trinca e da peça. Para uma trinca central de comprimento total
em uma tira de largura total
(ou seja, meia-largura
), uma correção comumente usada é
- Temos
e meia-largura . Então
Logo
- Para fratura crítica
. Isolando obtemos:
Agora os cálculos numéricos:
Então o denominador é
Finalmente
Comentário: esta é a tensão aplicada uniformemente na placa que tornaria o fator de intensidade
igual ao
, levando à fratura. Observação prática: pequenas diferenças no fator geométrico
(ou na forma de contar a largura) mudam um pouco
; a ordem de grandeza e o procedimento são esses.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)