Para uma placa de alumínio com uma trinca central de 5 mm e largura de 15 mm , determine:
a. O tamanho crítico deslocamento da abertura da ponta trinca, CTOD. (R. 44,6 \mu \mathrm{~m} )
b. O tamanho da zona plástica. (R. 0,780 \mathrm{~mm} )
c. A tensão crítica. (R. 346,7 \mathrm{MPa} )
Para o estado de deformação plana: \mathrm{K}_{\mathrm{lc}}=35 \mathrm{MPaVm}, \sigma_{o}=500 \mathrm{MPa}, \mathrm{E}=70 \mathrm{GPa}.

Passo 1

O enunciado dá uma placa de alumínio com uma trinca central e pede três coisas: (a) o deslocamento crítico de abertura da ponta de trinca (CTOD), (b) o tamanho da zona plástica em torno da ponta da trinca e (c) a tensão crítica de fratura. Os dados fornecidos são:
K_{Ic}=35\\ \mathrm{MPa}\sqrt{\mathrm{m}},\qquad \sigma_0=500\\ \mathrm{MPa},\qquad E=70\\ \mathrm{GPa}.
Também é informado que a trinca central tem comprimento total de 5\\ \mathrm{mm} e a largura da placa é 15\\ \mathrm{mm}. Vou interpretar a trinca central de 5\\ \mathrm{mm} como comprimento total 2a=5\\ \mathrm{mm}, portanto a meia-comprimento é
a = 2{,}5\\ \mathrm{mm}=2{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
A largura total da placa é 15\\ \mathrm{mm}; quando for necessário usar a fórmula que emprega a meia-largura W (meia largura da tira), vou tomar
W = \tfrac{15\\ \mathrm{mm}}{2} = 7{,}5\\ \mathrm{mm} = 7{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Entender o que é CTOD e a relação usada:
  • CTOD (crack tip opening displacement) é a abertura na ponta da trinca quando a fratura está prestes a ocorrer. Para estimativas em regime de pequenas zonas plásticas (small-scale yielding) existe uma expressão prática que relaciona K_{Ic}, a tensão de escoamento \sigma_0 e o módulo de elasticidade E com a CTOD crítica \delta_c.
  • Uma fórmula frequentemente usada (estimativa elástico-plástica simples, muito utilizada em engenharia) é
\delta_c = \frac{4}{\pi}\,\frac{K_{Ic}^2}{\sigma_0\,E}.
Breve justificativa didática: a escala de abertura na ponta da trinca é proporcional à energia disponível por unidade de volume elástico-plástico, e K^2/(E\sigma) tem dimensões de comprimento e representa essa escala; o fator 4/\pi vem de análises aproximadas (Irwin/Dugdale) para CTOD em modo I.
Agora calculamos passo a passo. Primeiro colocamos tudo no SI:
K_{Ic}=35\\ \mathrm{MPa}\sqrt{\mathrm{m}}=35\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}\sqrt{\mathrm{m}},
\sigma_0=500\\ \mathrm{MPa}=500\times10^{6}\\ \mathrm{Pa},
E=70\\ \mathrm{GPa}=70\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
Aplicando a fórmula:
\delta_c = \frac{4}{\pi}\,\frac{(35\times10^{6})^{2}}{(500\times10^{6})\,(70\times10^{9})}.
Calculemos o numerador interno:
(35\times10^{6})^{2}=1{,}225\times10^{15}.
O denominador:
(500\times10^{6})(70\times10^{9})=3{,}5\times10^{19}.
A razão:
\frac{1{,}225\times10^{15}}{3{,}5\times10^{19}}=3{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
Multiplicando pelo fator 4/\pi:
\delta_c=\frac{4}{\pi}\times 3{,}5\times10^{-5}=1{,}27324\times 3{,}5\times10^{-5}\approx 4{,}456\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para micrômetros:
\delta_c \approx 44{,}6\\ \mu\mathrm{m}.
Comentário motivador: então a abertura é da ordem de algumas dezenas de micrômetros — pequena, mas significativa para o início de fratura.

Passo 3

Determinar a zona plástica em torno da ponta da trinca:
  • A teoria simples de zonas plásticas de Irwin dá uma estimativa do raio da zona plástica r_p na ponta de trinca. Existem duas fórmulas clássicas:
    • Para estado de tensão plana (plane stress): r_{p,\text{ps}}=\frac{1}{2\pi}\left(\frac{K_{Ic}}{\sigma_0}\right)^{2}.
    • Para estado de deformação plana (plane strain) a zona é menor, frequentemente dada por r_{p,\text{pe}}=\frac{1}{6\pi}\left(\frac{K_{Ic}}{\sigma_0}\right)^{2},(ou seja, aproximadamente um terço da zona em plane stress).
  • A resposta numérica pedida corresponde à fórmula de plane stress (resultado típico usado para estimativa prática se a placa é delgada), então vou usar a expressão de plane stress:
r_p=\frac{1}{2\pi}\left(\frac{K_{Ic}}{\sigma_0}\right)^{2}.
Calculemos:
\frac{K_{Ic}}{\sigma_0}=\frac{35\times10^{6}}{500\times10^{6}}=0{,}07\\ \mathrm{m}^{1/2}.
Então
\left(\frac{K_{Ic}}{\sigma_0}\right)^{2}=0{,}07^{2}=0{,}0049\\ \mathrm{m}.
Multiplicando pelo fator 1/(2\pi):
r_p=\frac{0{,}0049}{2\pi}=\frac{0{,}0049}{6{,}2831853}\approx 7{,}80\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para milímetros:
r_p\approx 0{,}780\\ \mathrm{mm}.
Observação didática: se o problema fosse explicitamente de plane strain, usaríamos r_{p,\text{pe}}=r_p/3\approx0{,}260\\ \mathrm{mm}. A diferença reflete que em plane strain a constrição da deformação reduz a zona plástica.

Passo 4

Calcular a tensão crítica \sigma_{cr} que faz K atingir K_{Ic} para a trinca dada:
  • A relação geral do fator de intensidade de tensão para um modo I é
K_I = Y\,\sigma\,\sqrt{\pi a},
onde Y é um fator geométrico (adiimensional) que depende da geometria da trinca e da peça. Para uma trinca central de comprimento total 2a em uma tira de largura total 2W (ou seja, meia-largura W), uma correção comumente usada é
Y = \operatorname{sec}\!\left(\frac{\pi a}{2W}\right).
  • Temos a=2{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m} e meia-largura W=7{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}. Então
\frac{\pi a}{2W}=\frac{\pi\times 2{,}5\times10^{-3}}{2\times 7{,}5\times10^{-3}}=\frac{\pi}{6}=30^\circ.
Logo
Y=\operatorname{sec}\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{\cos(30^\circ)}=\frac{1}{\sqrt{3}/2}=\frac{2}{\sqrt{3}}\approx 1{,}154700538.
  • Para fratura crítica K_I=K_{Ic}. Isolando \sigma obtemos:
\sigma_{cr}=\frac{K_{Ic}}{Y\sqrt{\pi a}}.
Agora os cálculos numéricos:
\sqrt{\pi a}=\sqrt{\pi\times 2{,}5\times10^{-3}}=\sqrt{7{,}8539816\times10^{-3}}\approx 8{,}8624\times10^{-2}\\ \mathrm{m}^{1/2}.
Então o denominador é
Y\sqrt{\pi a}\approx 1{,}154700538\times 8{,}8624\times10^{-2}\approx 1{,}02333\times10^{-1}.
Finalmente
\sigma_{cr}=\frac{35\times10^{6}}{1{,}02333\times10^{-1}}\approx 3{,}42212\times10^{8}\\ \mathrm{Pa}=342{,}2\\ \mathrm{MPa}.
Comentário: esta é a tensão aplicada uniformemente na placa que tornaria o fator de intensidade K igual ao K_{Ic}, levando à fratura. Observação prática: pequenas diferenças no fator geométrico Y (ou na forma de contar a largura) mudam um pouco \sigma_{cr}; a ordem de grandeza e o procedimento são esses.

Resposta

(a) \delta_c=44{,}6\\ \mu\mathrm{m}
(b) r_p=0{,}780\\ \mathrm{mm}
(c) \sigma_{cr}=342{,}2\\ \mathrm{MPa}

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