(a) Derive planar density expressions for BCC (100) and (110) planes in terms of the atomic radius R.(b) Compute and compare planar density values for these same two planes for molybdenum (Mo).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Derivar expressões para a densidade planar (planar density) das retas cristalográficas
e numa rede cúbica de corpo centrado (BCC) em termos do raio atômico . - Calcular numericamente essas densidades para o molibdênio (Mo) e compará‑las.
Informações/condições relevantes que o enunciado fornece implicitamente e que usaremos:
- Queremos a densidade planar = número de centros atômicos por unidade de área na superfície de corte cristalográfica.
- Para a rede BCC usaremos a célula cúbica convencional; a relação geométrica entre parâmetro da rede
e raio atômico será necessária (essa relação será derivada adiante). - Para o cálculo numérico em Mo usaremos um valor cristalográfico típico do parâmetro de rede:
(valor tabulado para Mo). Não pediste para eu justificar a fonte; vou usar esse valor padrão.
Passo 2
O que é densidade planar e como contamos átomos numa superfície:
- Definição operacional: a densidade planar é o número de centros atômicos cujos centros estão exatamente na superfície (plano) dentro de uma célula de superfície básica, dividido pela área dessa célula de superfície.
- Ao contar átomos que aparecem na superfície, temos de considerar frações dos átomos que são compartilhados com células de superfície vizinhas. Por exemplo, um átomo num vértice de um reticulado bidimensional de superfície pode ser compartilhado por
células de superfície e, portanto, contribui com para cada célula. - Estratégia: para cada plano (
e ) vamos: - identificar a célula de superfície (a menor área repetitiva na superfície) e sua área
, - contar o número efetivo de átomos
cujos centros pertencem a essa célula (contando frações), - calcular
, - depois substituir
em função de para obter expressão em .
- identificar a célula de superfície (a menor área repetitiva na superfície) e sua área
Passo 3
Relação entre parâmetro de rede
e raio atômico
para BCC (derivação passo a passo):
- Na rede BCC os átomos nos cantos e o átomo no centro do corpo tocam-se ao longo da diagonal do cubo (body diagonal).
- A diagonal do corpo tem comprimento
. - Ao longo dessa diagonal, passando por centro-canto-centro-canto, há quatro raios atômicos alinhados (dois raios do átomo de canto + dois do átomo central), de modo que a soma do comprimento dos quatro raios é
. Portanto:
- Isolando
:
Aqui:
é o parâmetro da célula cúbica convencional e
é o raio atômico metálico (metálico/compacto) usado para medir contato entre átomos.
Passo 4
Densidade planar para o plano
— contagem de átomos e área:
- Visualização e célula de superfície: um plano
é paralelo a uma face do cubo; a célula de superfície natural é um quadrado de lado e área . - Quais centros atômicos estão nesse plano? Na face do cubo aparecem os 4 átomos nos cantos da face. O átomo do centro do corpo NÃO está na face. Então, dentro da célula de superfície quadrada temos 4 cantos.
- Fração de cada átomo de canto pertencente àquela célula de superfície: cada átomo de canto da face é compartilhado por
células de face adjacentes no plano (pense num mosaico de quadrados), então cada canto contribui com . - Número efetivo de átomos por célula de superfície:
- Densidade planar:
- Agora substituímos
em função de : usando temos
portanto
Essa é a expressão pedida para
em termos de
.
Passo 5
Densidade planar para o plano
— contagem de átomos e área (passo a passo):
- Geometria do plano
: esse plano corta a base do cubo ao longo da diagonal e se estende na direção . Uma célula de superfície natural para é um retângulo com lados de comprimento (na direção ) e (na direção ao longo da diagonal da face, ). Logo a área da célula de superfície é
- Quais centros atômicos estão no plano? Olhando a interseção do plano
com a célula cúbica convencional, vemos: - Quatro átomos de canto têm seus centros exatamente no plano (estes ocupam os quatro vértices do retângulo): contribuição combinada dos cantos =
átomo. - Importante: o átomo no centro do corpo, cuja posição é
, satisfaz a equação do plano (para a face escolhida), logo o centroide do átomo central está exatamente sobre o plano. Isso significa que há mais 1 átomo cujo centro pertence ao plano (e esse átomo está inteiramente contado dentro da célula de superfície escolhida — não é uma fração como os cantos).
- Quatro átomos de canto têm seus centros exatamente no plano (estes ocupam os quatro vértices do retângulo): contribuição combinada dos cantos =
- Número efetivo de átomos por célula de superfície:
- Densidade planar:
- Substituindo
em função de (novamente ):
Essa é a expressão pedida para
em termos de
.
Observação rápida (didática): comparando as duas expressões,
ou seja, o plano
é
vezes mais denso que o
numa rede BCC.
Passo 6
Cálculo numérico para molibdênio (Mo) e comparação:
- Vou usar o parâmetro de rede tabulado para Mo:
. - Primeiro obtenho
a partir de (para checar consistência com as fórmulas):
Substituindo numericamente:
(ou seja,
.)
-
Agora calculo as densidades com as fórmulas em função de
— é mais direto numericamente: - Para
:
- Para
:
- Para
-
Conversão útil (opcional) para unidades por
: multiplicamos por (pois ): -
Comparação: como esperado da relação analítica,
é maior que por um fator (aprox. ). Isso significa que é o plano mais densamente empacotado entre os dois considerados.
Resposta
(a)
,
(b) Para Mo (tomando
,
):
e
(razão
).