(a) Derive linear density expressions for FCC [100] and [111] directions in terms of the atomic radius R . (b) Compute and compare linear density values for these same two directions for copper ( Cu ).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) obter fórmulas para a densidade linear (número de centros atômicos por unidade de comprimento) nas direções [100] e [111] em uma rede cúbica de face centrada (FCC), expressas em função do raio atômico R; (b) calcular e comparar esses valores para o cobre (Cu). Dados relevantes: estrutura FCC e o raio atômico simbólico R. Não há outras informações numéricas no enunciado; usarei depois o valor típico do raio metálico do Cu para os cálculos numéricos.

Passo 2

O que é densidade linear e como vamos calcular:
  • Definição: a densidade linear (LD) ao longo de uma direção cristalográfica é o número de centros atômicos que estão sobre uma linha paralela àquela direção, dividido pelo comprimento do trecho considerado. Em prática, escolhemos o menor vetor de rede (menor translação) paralelo à direção — esse é o “comprimento repetitivo” — e contamos quantos centros atômicos pertencem a esse trecho. Átomos que caem exatamente nas extremidades do trecho devem ser contados com fração 1/2 cada (porque o trecho é compartilhado entre dois segmentos repetidos).
  • Estratégia: para cada direção, identifico o menor vetor de translação paralelo a ela, determino seu comprimento L e quantos centros atômicos estão sobre esse segmento (contando frações quando necessário). Então
\text{LD}=\frac{\text{número de átomos (com frações)}}{L}.úáçõ

Passo 3

Relação entre parâmetro de rede a e raio atômico R na FCC (passo importante para escrever em função de R):
  • Em FCC os átomos se tocam ao longo da diagonal da face. O comprimento da diagonal da face é \sqrt{2}\,a e, ao longo dela, cabem dois diâmetros atômicos consecutivos (ou seja, 4R). Logo
\sqrt{2}\,a = 4R \quad\Rightarrow\quad a = \frac{4R}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\,R.
Explicação curta: imagine a face do cubo; da extremidade de um canto até o canto oposto passa por um átomo no centro da face e esses centros estão separados por 4R.

Passo 4

Densidade linear na direção [100]:
  • Menor vetor de translação paralelo a [100] tem comprimento L_{[100]}=a (é a aresta do cubo).
  • Contagem de átomos sobre esse trecho: ao longo de uma aresta passam centros de átomos nos cantos. Num segmento de comprimento a temos dois cantos (extremidades); cada canto é compartilhado por dois segmentos consecutivos ao longo da direção, portanto cada canto contribui com 1/2. Soma: 1/2+1/2=1 átomo por trecho de comprimento a.
  • Então
\text{LD}_{[100]}=\frac{1}{a}.
  • Substituindo a=2\sqrt{2}\,R (do Passo 3):
\text{LD}_{[100]}=\frac{1}{2\sqrt{2}\,R}.
Aqui \text{LD}_{[100]} tem unidades de número de átomos por unidade de comprimento (por exemplo \text{m}^{-1}).

Passo 5

Densidade linear na direção [111]:
  • Menor vetor de translação paralelo a [111] (entre cantos consecutivos ao longo dessa diagonal espacial) tem comprimento
L_{[111]} = \sqrt{1^2+1^2+1^2}\,a = \sqrt{3}\,a.
  • Contagem de átomos sobre esse trecho: entre dois cantos opostos ao longo de [111] não há centros adicionais (não há átomos em posições de corpo na FCC), portanto temos os dois cantos nas extremidades. Cada extremidade contribui com 1/2, totalizando 1 átomo por trecho de comprimento \sqrt{3}\,a.
  • Logo
\text{LD}_{[111]}=\frac{1}{\sqrt{3}\,a}.
  • Substituindo a=2\sqrt{2}\,R:
\text{LD}_{[111]}=\frac{1}{\sqrt{3}\,(2\sqrt{2}\,R)}=\frac{1}{2\sqrt{6}\,R}.

Passo 6

Comparação algébrica simples e interpretação:
  • Tomando a razão,
\frac{\text{LD}_{[100]}}{\text{LD}_{[111]}}=\frac{1/(2\sqrt{2}\,R)}{1/(2\sqrt{6}\,R)}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}\approx 1,732.
Isto significa que, para FCC, a direção [100] tem densidade linear \sqrt{3} vezes maior que a direção [111]. (Observação: a direção mais densa em FCC é [110], que não foi pedida aqui.)

Passo 7

Cálculo numérico para cobre (Cu):
  • Vou usar o valor típico do raio metálico do Cu: \;R_{\text{Cu}}=128\\ \text{pm}=1,28\times10^{-10}\\ \text{m}.
  • Substituindo em \text{LD}_{[100]}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}\,R}:
\text{LD}_{[100]}=\frac{1}{2\sqrt{2}\,(1,28\times10^{-10}\\ \text{m})} \approx 2,76\times10^{9}\\ \text{m}^{-1}.
  • Substituindo em \text{LD}_{[111]}=\dfrac{1}{2\sqrt{6}\,R}:
\text{LD}_{[111]}=\frac{1}{2\sqrt{6}\,(1,28\times10^{-10}\\ \text{m})} \approx 1,59\times10^{9}\\ \text{m}^{-1}.
  • Confirmação da razão numérica:
\frac{2,76\times10^{9}}{1,59\times10^{9}}\approx 1,73\approx\sqrt{3},
concordando com a relação analítica do Passo 6.

Resposta

(a) \text{LD}_{[100]}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}\,R},\quad \text{LD}_{[111]}=\dfrac{1}{2\sqrt{6}\,R}.
(b) Para R_{\text{Cu}}=128\\ \text{pm}=1,28\times10^{-10}\\ \text{m}: \text{LD}_{[100]}\approx 2,76\times10^{9}\\ \text{m}^{-1},\quad \text{LD}_{[111]}\approx 1,59\times10^{9}\\ \text{m}^{-1} (e \text{LD}_{[100]}=\sqrt{3}\,\text{LD}_{[111]}).

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