(a) Derive linear density expressions for FCC [100] and [111] directions in terms of the atomic radius R . (b) Compute and compare linear density values for these same two directions for copper ( Cu ).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) obter fórmulas para a densidade linear (número de centros atômicos por unidade de comprimento) nas direções
e
em uma rede cúbica de face centrada (FCC), expressas em função do raio atômico
; (b) calcular e comparar esses valores para o cobre (Cu). Dados relevantes: estrutura FCC e o raio atômico simbólico
. Não há outras informações numéricas no enunciado; usarei depois o valor típico do raio metálico do Cu para os cálculos numéricos.
Passo 2
O que é densidade linear e como vamos calcular:
- Definição: a densidade linear (LD) ao longo de uma direção cristalográfica é o número de centros atômicos que estão sobre uma linha paralela àquela direção, dividido pelo comprimento do trecho considerado. Em prática, escolhemos o menor vetor de rede (menor translação) paralelo à direção — esse é o “comprimento repetitivo” — e contamos quantos centros atômicos pertencem a esse trecho. Átomos que caem exatamente nas extremidades do trecho devem ser contados com fração 1/2 cada (porque o trecho é compartilhado entre dois segmentos repetidos).
- Estratégia: para cada direção, identifico o menor vetor de translação paralelo a ela, determino seu comprimento
e quantos centros atômicos estão sobre esse segmento (contando frações quando necessário). Então
Passo 3
Relação entre parâmetro de rede
e raio atômico
na FCC (passo importante para escrever em função de
):
- Em FCC os átomos se tocam ao longo da diagonal da face. O comprimento da diagonal da face é
e, ao longo dela, cabem dois diâmetros atômicos consecutivos (ou seja, ). Logo
Explicação curta: imagine a face do cubo; da extremidade de um canto até o canto oposto passa por um átomo no centro da face e esses centros estão separados por
.
Passo 4
Densidade linear na direção
:
- Menor vetor de translação paralelo a
tem comprimento (é a aresta do cubo). - Contagem de átomos sobre esse trecho: ao longo de uma aresta passam centros de átomos nos cantos. Num segmento de comprimento
temos dois cantos (extremidades); cada canto é compartilhado por dois segmentos consecutivos ao longo da direção, portanto cada canto contribui com . Soma: átomo por trecho de comprimento . - Então
- Substituindo
(do Passo 3):
Aqui
tem unidades de número de átomos por unidade de comprimento (por exemplo
).
Passo 5
Densidade linear na direção
:
- Menor vetor de translação paralelo a
(entre cantos consecutivos ao longo dessa diagonal espacial) tem comprimento
- Contagem de átomos sobre esse trecho: entre dois cantos opostos ao longo de
não há centros adicionais (não há átomos em posições de corpo na FCC), portanto temos os dois cantos nas extremidades. Cada extremidade contribui com , totalizando átomo por trecho de comprimento . - Logo
- Substituindo
:
Passo 6
Comparação algébrica simples e interpretação:
- Tomando a razão,
Isto significa que, para FCC, a direção
tem densidade linear
vezes maior que a direção
. (Observação: a direção mais densa em FCC é
, que não foi pedida aqui.)
Passo 7
Cálculo numérico para cobre (Cu):
- Vou usar o valor típico do raio metálico do Cu:
- Substituindo em
:
- Substituindo em
:
- Confirmação da razão numérica:
concordando com a relação analítica do Passo 6.
Resposta
(a)
(b) Para :
(e
).
(b) Para