24.24 Um capacitor com placas paralelas possui capacitância igual a 920 pF . A carga em cada placa é de 2,55 \mu \mathrm{C}. (a) Qual é a diferença de potencial entre as placas? (b) Caso a carga fosse mantida constante, qual seria a diferença de potencial entre as placas se a distância entre elas dobrasse? (c) Qual É o trabalho necessário para duplicar essa distância?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e faz essas perguntas.
  • Dados:
    C=920\\ \text{pF} (capacitância das placas)
    Q=2,55\\ \mu\text{C} (carga em cada placa)
  • Perguntas:
    (a) Qual é a diferença de potencial entre as placas?
    (b) Se a carga fosse mantida constante e a distância entre as placas dobrasse, qual seria a nova diferença de potencial?
    (c) Qual é o trabalho necessário para duplicar essa distância?

Passo 2

Primeiro vamos organizar as unidades para poder calcular sem erro. Convertemos tudo para o Sistema Internacional (SI).
  • Para a capacitância:
    C = 920\\ \text{pF} = 920\times10^{-12}\\ \text{F} = 9,20\times10^{-10}\\ \text{F}
  • Para a carga:
    Q = 2,55\\ \mu\text{C} = 2,55\times10^{-6}\\ \text{C}
Explicação didática rápida: pF (picofarad) significa 10^{-12} farad; \mu\text{C} (microcoulomb) significa 10^{-6} coulomb. Sempre deixe em SI para calcular direito.

Passo 3

Para responder (a) usamos a relação básica entre capacitância, carga e diferença de potencial:
C=\frac{Q}{V}
onde
  • C é a capacitância (em farads),
  • Q é a carga (em coulombs),
  • V é a diferença de potencial entre as placas (em volts).
Isolando V:
V=\frac{Q}{C}.

Passo 4

Agora substituímos os valores convertidos na fórmula para calcular V.
V=\frac{2,55\times10^{-6}}{9,20\times10^{-10}}
Vamos fazer a conta em etapas para não perder nada: divida os coeficientes e trate a potência de 10 separadamente.
\frac{2,55}{9,20}=0,277173913\ldots
e
\frac{10^{-6}}{10^{-10}}=10^{4}.
Multiplicando,
V\approx0,277173913\times10^{4}=2,77173913\times10^{3}\\ \text{V}.
Arredondando de forma razoável:
V\approx2,77\times10^{3}\\ \text{V}.

Passo 5

Agora a parte (b). Para um capacitor de placas paralelas a capacitância depende inversamente da distância entre as placas:
C\propto\frac{1}{d}.
Isso significa: se a distância d dobrar, a nova capacitância C' será metade da original:
C'=\frac{C}{2}.
Se a carga Q é mantida constante, a nova diferença de potencial V' será
V'=\frac{Q}{C'}=\frac{Q}{C/2}=2\frac{Q}{C}=2V.
Portanto a diferença de potencial dobra.

Passo 6

Calculamos numericamente a nova diferença de potencial:
V'=2V=2\times2,77173913\times10^{3}\\ \text{V}=5,54347826\times10^{3}\\ \text{V}.
Arredondando:
V'\approx5,54\times10^{3}\\ \text{V}.

Passo 7

Agora a parte (c): trabalho necessário para duplicar a distância mantendo a carga constante.
Conceito importante (aula rapidinha): a energia armazenada em um capacitor pode ser escrita de três maneiras equivalentes:
U=\tfrac{1}{2}CV^{2}=\tfrac{1}{2}QV=\frac{Q^{2}}{2C}.
Aqui U é a energia (em joules). Quando a carga é mantida fixa, a expressão mais conveniente é
U=\frac{Q^{2}}{2C},
porque C muda quando a distância muda enquanto Q fica igual.

Passo 8

Calculemos a energia inicial U com C original:
U=\frac{Q^{2}}{2C}=\frac{(2,55\times10^{-6})^{2}}{2\times9,20\times10^{-10}}.
Fazendo as contas em etapas:
Q^{2}=(2,55\times10^{-6})^{2}=6,5025\times10^{-12},
2C=2\times9,20\times10^{-10}=1,84\times10^{-9}.
U=\frac{6,5025\times10^{-12}}{1,84\times10^{-9}}=3,53288478\times10^{-3}\\ \text{J}.
Arredondando:
U\approx3,53\times10^{-3}\\ \text{J}.

Passo 9

Quando a distância dobra, C'\!=\!C/2. A nova energia U' será
U'=\frac{Q^{2}}{2C'}=\frac{Q^{2}}{2(C/2)}=\frac{Q^{2}}{C}=2\frac{Q^{2}}{2C}=2U.
Logo a energia dobra. A variação de energia (energia necessária fornecida pelo agente externo, já que mantemos Q fixo) é
\Delta U=U'-U=U.
Portanto o trabalho necessário é igual à energia inicial U, que já calculamos.

Resposta

(a) 2,77\times10^{3}\\ \text{V}
(b) 5,54\times10^{3}\\ \text{V}
(c) 3,53\times10^{-3}\\ \text{J}

Exercícios relacionados