Questão 2
(3,0 pontos) Um oscilador não amortecido de massa
e frequência natural
move-se sob a ação de uma força externa
, onde
NAO é a frequência natural de oscilação do sistema. Inicialmente o oscilador se encontra em repouso na posição de equilíbrio. Determine o deslocamento
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte:
- Força externa:
com . - Massa do oscilador:
. - Frequência natural do sistema:
. - Condição inicial: o oscilador está inicialmente em repouso na posição de equilíbrio, isto é,
e . - Pergunta: determinar o deslocamento
para todo .
Todas as quantidades acima são dados do problema e serão usados para obter
.
Passo 2
Escrevemos a equação de movimento do oscilador não amortecido sujeito à força externa. A constante elástica
e a frequência natural estão relacionadas por
, portanto
. A equação de Newton é
Dividindo por
obtemos a forma padrão da equação diferencial:
Aqui
é a aceleração,
representa a força restauradora por unidade de massa, e o termo à direita é a força externa por unidade de massa.
Passo 3
Resolvemos a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral é soma da solução homogênea (
) e de uma solução particular (
):
Primeiro a homogênea: resolvendo
temos a equação característica
com raízes
. Logo a solução homogênea é
onde
e
são constantes que serão fixadas pelas condições iniciais. Essas componentes correspondem ao movimento livre (transiente) do oscilador.
Passo 4
Agora buscamos uma solução particular
para o forçamento
. Como a força é uma função harmônica
e
(portanto não há ressonância), tentamos uma solução do tipo
onde
é constante a determinar. Calculamos a derivada segunda:
Substituindo na equação:
Factorizando
(não nulo genericamente), obtemos
Portanto
Esse é o coeficiente da resposta forçada (regime estacionário).
Passo 5
A solução geral fica então
Aplicamos as condições iniciais. Em
:
logo
Agora a velocidade:
Em
temos
, portanto
Passo 6
Substituindo
e
na solução geral obtemos (colocando o fator comum
):
ou seja
Interpretação física rápida: como o sistema é não amortecido, a solução contém tanto a resposta forçada (termo
) quanto o transiente livre (termo
). Se
está próximo de
aparecem batimentos; usando a identidade trigonométrica
obtem-se a forma mostradora de batimentos.