Questão 2

(3,0 pontos) Um oscilador não amortecido de massa m e frequência natural \omega_{0} move-se sob a ação de uma força externa F(t)=F_{0} \cos (\omega t), onde \omega NAO é a frequência natural de oscilação do sistema. Inicialmente o oscilador se encontra em repouso na posição de equilíbrio. Determine o deslocamento x(t).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte:
  • Força externa: F(t)=F_{0}\cos(\omega t) com \omega\neq\omega_{0}.
  • Massa do oscilador: m.
  • Frequência natural do sistema: \omega_{0}.
  • Condição inicial: o oscilador está inicialmente em repouso na posição de equilíbrio, isto é, x(0)=0 e \dot{x}(0)=0.
  • Pergunta: determinar o deslocamento x(t) para todo t.
Todas as quantidades acima são dados do problema e serão usados para obter x(t).

Passo 2

Escrevemos a equação de movimento do oscilador não amortecido sujeito à força externa. A constante elástica k e a frequência natural estão relacionadas por \omega_{0}=\sqrt{k/m}, portanto k=m\omega_{0}^{2}. A equação de Newton é
m\ddot{x}+kx=F_{0}\cos(\omega t).
Dividindo por m obtemos a forma padrão da equação diferencial:
\ddot{x}+\omega_{0}^{2}x=\frac{F_{0}}{m}\cos(\omega t).
Aqui \ddot{x} é a aceleração, \omega_{0}^{2}x representa a força restauradora por unidade de massa, e o termo à direita é a força externa por unidade de massa.

Passo 3

Resolvemos a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral é soma da solução homogênea ( x_{h}) e de uma solução particular ( x_{p}):
x(t)=x_{h}(t)+x_{p}(t).
Primeiro a homogênea: resolvendo
\ddot{x}+\omega_{0}^{2}x=0
temos a equação característica r^{2}+\omega_{0}^{2}=0 com raízes r=\pm i\omega_{0}. Logo a solução homogênea é
x_{h}(t)=A\cos(\omega_{0}t)+B\sin(\omega_{0}t),
onde A e B são constantes que serão fixadas pelas condições iniciais. Essas componentes correspondem ao movimento livre (transiente) do oscilador.

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular x_{p}(t) para o forçamento \displaystyle \frac{F_{0}}{m}\cos(\omega t). Como a força é uma função harmônica \cos(\omega t) e \omega\neq\omega_{0} (portanto não há ressonância), tentamos uma solução do tipo
x_{p}(t)=C\cos(\omega t),
onde C é constante a determinar. Calculamos a derivada segunda:
\ddot{x}_{p}=-C\omega^{2}\cos(\omega t).
Substituindo na equação:
- C\omega^{2}\cos(\omega t)+\omega_{0}^{2}C\cos(\omega t)=\frac{F_{0}}{m}\cos(\omega t).
Factorizando \cos(\omega t) (não nulo genericamente), obtemos
C(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})=\frac{F_{0}}{m}.
Portanto
C=\frac{F_{0}/m}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}.
Esse é o coeficiente da resposta forçada (regime estacionário).

Passo 5

A solução geral fica então
x(t)=A\cos(\omega_{0}t)+B\sin(\omega_{0}t)+\frac{F_{0}/m}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\cos(\omega t).
Aplicamos as condições iniciais. Em t=0:
x(0)=A+\frac{F_{0}/m}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}=0,
logo
A=-\frac{F_{0}/m}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}.
Agora a velocidade:
\dot{x}(t)=-A\omega_{0}\sin(\omega_{0}t)+B\omega_{0}\cos(\omega_{0}t)-\frac{F_{0}/m}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\omega\sin(\omega t).
Em t=0 temos \dot{x}(0)=B\omega_{0}=0, portanto
B=0.

Passo 6

Substituindo A e B na solução geral obtemos (colocando o fator comum C=\dfrac{F_{0}/m}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}):
x(t)=C\cos(\omega t)-C\cos(\omega_{0}t)=C\bigl(\cos(\omega t)-\cos(\omega_{0}t)\bigr),
ou seja
x(t)=\frac{F_{0}/m}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\bigl(\cos(\omega t)-\cos(\omega_{0}t)\bigr).
Interpretação física rápida: como o sistema é não amortecido, a solução contém tanto a resposta forçada (termo \cos(\omega t)) quanto o transiente livre (termo -\cos(\omega_{0}t)). Se \omega está próximo de \omega_{0} aparecem batimentos; usando a identidade trigonométrica \cos a-\cos b=-2\sin\bigl(\tfrac{a+b}{2}\bigr)\sin\bigl(\tfrac{a-b}{2}\bigr) obtem-se a forma mostradora de batimentos.

Resposta

x(t)=\frac{F_{0}/m}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\bigl(\cos(\omega t)-\cos(\omega_{0}t)\bigr)

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