25- Um componente pode ser colocado em oito localizações diferentes em uma placa de circuito impresso. Se cinco componentes idênticos forem colocados na placa, quantos projetos diferentes serão possíveis?
OBS: O gabarito não contém as resoluções completas dos exercícios, somente a resposta final para que os alunos verifiquem se acertaram as questões. Para a resolução da atividade os alunos devem fazer as respostas completas com a resoluções dos exercícios.
Passo 1
O enunciado pede: quantos projetos diferentes são possíveis ao colocar cinco componentes idênticos em oito localizações diferentes de uma placa de circuito impresso.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Existem
localizações distintas onde um componente pode ser colocado. - Temos
componentes idênticos a serem colocados. - Assumimos que cada localização suporta no máximo um componente (ou seja, não colocamos mais de um componente na mesma localização).
Passo 2
Entendimento combinatorial (intuição do que estamos contando): como os componentes são idênticos, não importa qual componente vai para qual posição — só importa quais posições ficam ocupadas. Logo, cada projeto corresponde a escolher um subconjunto de
posições entre as
disponíveis. Em palavras simples: estamos escolhendo
posições dentre
, sem ordem e sem repetição.
Passo 3
Fórmula que usamos: o número de maneiras de escolher
elementos dentre
distintos, sem ordem e sem repetição, é o coeficiente binomial
onde
(lê-se “
fatorial”) é o produto dos inteiros positivos até
:
Aqui
representa o número total de posições disponíveis e
o número de posições que queremos ocupar. No nosso problema
e
.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao problema:
Agora simplificamos
cancelando
:
logo
E como
, temos
Passo 5
Verificação alternativa (ideia do complemento): escolher as
posições que serão ocupadas é equivalente a escolher as
posições que ficarão vazias. Ou seja,
Calculando
também obtemos
o que confirma o cálculo anterior. Um exemplo pequeno para fixar a ideia: se tivéssemos
posições e
componentes idênticos, o número de projetos seria
— as possíveis combinações de posições ocupadas são
.
Resposta
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