25- Um componente pode ser colocado em oito localizações diferentes em uma placa de circuito impresso. Se cinco componentes idênticos forem colocados na placa, quantos projetos diferentes serão possíveis?
OBS: O gabarito não contém as resoluções completas dos exercícios, somente a resposta final para que os alunos verifiquem se acertaram as questões. Para a resolução da atividade os alunos devem fazer as respostas completas com a resoluções dos exercícios.

Passo 1

O enunciado pede: quantos projetos diferentes são possíveis ao colocar cinco componentes idênticos em oito localizações diferentes de uma placa de circuito impresso.
Informações dadas:
  • Existem 8 localizações distintas onde um componente pode ser colocado.
  • Temos 5 componentes idênticos a serem colocados.
  • Assumimos que cada localização suporta no máximo um componente (ou seja, não colocamos mais de um componente na mesma localização).

Passo 2

Entendimento combinatorial (intuição do que estamos contando): como os componentes são idênticos, não importa qual componente vai para qual posição — só importa quais posições ficam ocupadas. Logo, cada projeto corresponde a escolher um subconjunto de 5 posições entre as 8 disponíveis. Em palavras simples: estamos escolhendo 5 posições dentre 8, sem ordem e sem repetição.

Passo 3

Fórmula que usamos: o número de maneiras de escolher k elementos dentre n distintos, sem ordem e sem repetição, é o coeficiente binomial
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (lê-se “ n fatorial”) é o produto dos inteiros positivos até n:
n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot1.
Aqui n representa o número total de posições disponíveis e k o número de posições que queremos ocupar. No nosso problema n=8 e k=5.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao problema:
\binom{8}{5} = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5!\,3!}.
Agora simplificamos 8! cancelando 5!:
8! = 8\cdot7\cdot6\cdot5!
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\frac{8!}{5!\,3!} = \frac{8\cdot7\cdot6\cdot5!}{5!\cdot3!} = \frac{8\cdot7\cdot6}{3!}.
E como 3! = 3\cdot2\cdot1 = 6, temos
\frac{8\cdot7\cdot6}{3!} = \frac{8\cdot7\cdot6}{6} = 8\cdot7 = 56.

Passo 5

Verificação alternativa (ideia do complemento): escolher as 5 posições que serão ocupadas é equivalente a escolher as 3 posições que ficarão vazias. Ou seja,
\binom{8}{5} = \binom{8}{3}.
Calculando \binom{8}{3} também obtemos
\binom{8}{3} = \frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1} = 56,
o que confirma o cálculo anterior. Um exemplo pequeno para fixar a ideia: se tivéssemos 3 posições e 2 componentes idênticos, o número de projetos seria \binom{3}{2}=3 — as possíveis combinações de posições ocupadas são \{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}.

Resposta

56

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