24^{\circ} ) Calcule a área da região definida pelas curvas x^{2}+y^{2}=6 e x=y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a área da região comum às curvas
x^{2}+y^{2}=6
(equilátero círculo de raio \sqrt{6}) e
x=y^{2}
(parábola aberta à direita). Para resolver, vamos achar os pontos de interseção, descrever a região em termos de y e montar uma integral de área.

Passo 2

Para encontrar as interseções, substituímos x=y^{2}\) em \(x^{2}+y^{2}=6\): \[(y^{2})^{2}+y^{2}-6=0
ou seja
y^{4}+y^{2}-6=0.
Fazendo u=y^{2} obtemos
u^{2}+u-6=0\implies u=\frac{-1\pm\sqrt{1+24}}{2}=\begin{cases}2,\\\ -3\end{cases}.
Como y^{2}=u\ge0\], temos \(y^{2}=2, logo
y=\pm\sqrt{2},\quad x=y^{2}=2.
Os pontos de interseção são \bigl(2,\sqrt{2}\bigr) e \bigl(2,-\sqrt{2}\bigr).

Passo 3

Para cada y entre -\sqrt{2} e \sqrt{2}, o x varia da parábola x=y^{2} até a borda direita do círculo \;x=\sqrt{6-y^{2}}. Assim a área é
A=\int_{y=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\bigl[\sqrt{6-y^{2}}-y^{2}\bigr]\,dy.
Como o integrando é função par em y, escrevemos
A=2\int_{0}^{\sqrt{2}}\bigl[\sqrt{6-y^{2}}-y^{2}\bigr]\,dy =2\Bigl(\underbrace{\int_{0}^{\sqrt{2}}\sqrt{6-y^{2}}\,dy}_{I_{1}} -\underbrace{\int_{0}^{\sqrt{2}}y^{2}\,dy}_{I_{2}}\Bigr).

Passo 4

Calculamos
I_{1}=\int_{0}^{\sqrt{2}}\sqrt{6-y^{2}}\,dy.
Usamos a primitiva padrão
\int\sqrt{a^{2}-y^{2}}\,dy =\frac{y}{2}\sqrt{a^{2}-y^{2}}+\frac{a^{2}}{2}\arcsin\!\Bigl(\frac{y}{a}\Bigr),
com a=\sqrt{6}. Avaliando de 0 a \sqrt{2}:
I_{1} =\Bigl[\frac{y}{2}\sqrt{6-y^{2}}+\frac{6}{2}\arcsin\!\bigl(\tfrac{y}{\sqrt{6}}\bigr)\Bigr]_{0}^{\sqrt{2}} =\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{4}+3\arcsin\!\Bigl(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}\Bigr) =\sqrt{2}+3\arcsin\!\Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}\Bigr).

Passo 5

Agora
I_{2}=\int_{0}^{\sqrt{2}}y^{2}\,dy =\Bigl[\frac{y^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{\sqrt{2}} =\frac{(\sqrt{2})^{3}}{3} =\frac{2\sqrt{2}}{3}.
Substituindo em A:
A =2\Bigl(I_{1}-I_{2}\Bigr) =2\Bigl(\sqrt{2}+3\arcsin\!\tfrac{1}{\sqrt{3}} -\tfrac{2\sqrt{2}}{3}\Bigr) =2\Bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{3}+3\arcsin\!\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr).

Resposta

A =\frac{2\sqrt{2}}{3}+6\arcsin\!\Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}\Bigr).

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