24^{\circ} ) Calcule a área da região definida pelas curvas x^{2}+y^{2}=6 e x=y^{2}. Passo 1O enunciado pede a área da região comum às curvas x^{2}+y^{2}=6 (equilátero círculo de raio \sqrt{6}) e x=y^{2} (parábola aberta à direita). Para resolver, vamos achar os pontos de interseção, descrever a região em termos de y e montar uma integral de área. Passo 2Para encontrar as interseções, substituímos x=y^{2}\) em \(x^{2}+y^{2}=6\): \[(y^{2})^{2}+y^{2}-6=0 ou seja y^{4}+y^{2}-6=0. Fazendo u=y^{2} obtemos u^{2}+u-6=0\implies u=\frac{-1\pm\sqrt{1+24}}{2}=\begin{cases}2,\\\ -3\end{cases}. Como y^{2}=u\ge0\], temos \(y^{2}=2, logo y=\pm\sqrt{2},\quad x=y^{2}=2. Os pontos de interseção são \bigl(2,\sqrt{2}\bigr) e \bigl(2,-\sqrt{2}\bigr). Passo 3Para cada y entre -\sqrt{2} e \sqrt{2}, o x varia da parábola x=y^{2} até a borda direita do círculo \;x=\sqrt{6-y^{2}}. Assim a área é A=\int_{y=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\bigl[\sqrt{6-y^{2}}-y^{2}\bigr]\,dy. Como o integrando é função par em y, escrevemos A=2\int_{0}^{\sqrt{2}}\bigl[\sqrt{6-y^{2}}-y^{2}\bigr]\,dy =2\Bigl(\underbrace{\int_{0}^{\sqrt{2}}\sqrt{6-y^{2}}\,dy}_{I_{1}} -\underbrace{\int_{0}^{\sqrt{2}}y^{2}\,dy}_{I_{2}}\Bigr). Passo 4Calculamos I_{1}=\int_{0}^{\sqrt{2}}\sqrt{6-y^{2}}\,dy. Usamos a primitiva padrão \int\sqrt{a^{2}-y^{2}}\,dy =\frac{y}{2}\sqrt{a^{2}-y^{2}}+\frac{a^{2}}{2}\arcsin\!\Bigl(\frac{y}{a}\Bigr), com a=\sqrt{6}. Avaliando de 0 a \sqrt{2}: I_{1} =\Bigl[\frac{y}{2}\sqrt{6-y^{2}}+\frac{6}{2}\arcsin\!\bigl(\tfrac{y}{\sqrt{6}}\bigr)\Bigr]_{0}^{\sqrt{2}} =\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{4}+3\arcsin\!\Bigl(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}\Bigr) =\sqrt{2}+3\arcsin\!\Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}\Bigr). Passo 5Agora I_{2}=\int_{0}^{\sqrt{2}}y^{2}\,dy =\Bigl[\frac{y^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{\sqrt{2}} =\frac{(\sqrt{2})^{3}}{3} =\frac{2\sqrt{2}}{3}. Substituindo em A: A =2\Bigl(I_{1}-I_{2}\Bigr) =2\Bigl(\sqrt{2}+3\arcsin\!\tfrac{1}{\sqrt{3}} -\tfrac{2\sqrt{2}}{3}\Bigr) =2\Bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{3}+3\arcsin\!\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr). Resposta A =\frac{2\sqrt{2}}{3}+6\arcsin\!\Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}\Bigr). MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionados 24^{\circ} ) Calcule a área da região definida pelas curvas x^{2}+y^{2}=6 e x=y^{2}. 17^{\circ} ) Calcule \iint_{R} \frac{1}{x^{2}+y^{2}+1} d A, onde R é a região x^{2}+y^{2} \leq 4. Determine o momento de inércia de uma barra fina e homogênea de comprimento L e massa M, em relação ao eixo que passa perpendicularmente ao seu comprimento a umarto a um quarto de seu comprimento de uma das extremidades. 3- Suponha que z=\stackrel{-}{f(x, y)} é uma função de classe \mathcal{C}^{1}, f(1,3)=-1, \frac{\partial f}{\partial x}(1,3)=4 e \frac{\partial f}{\partial y}(1,3)=-3. Sabe-se que a curva de equação \sigma(t)=\left(t^{2}, t t-1, z(t)\right), t \in \mathbb{R} está contida no gráfico da função z=f(x, y). Calcule \frac{d z}{d t}(t).