Determine o momento de inércia de uma barra fina e homogênea de comprimento L e massa M, em relação ao eixo que passa perpendicularmente ao seu comprimento a umarto a um quarto de seu comprimento de uma das extremidades.

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia de uma barra fina e homogênea de comprimento L e massa M em relação a um eixo perpendicular à barra situado a um quarto de L a partir de uma extremidade.
O conteúdo que vamos usar é o momento de inércia de uma barra em seu centro de massa e o teorema dos eixos paralelos (Steiner).

Passo 2

Primeiro, recordamos que o momento de inércia de uma barra de comprimento L e massa M em relação a um eixo perpendicular passando pelo seu centro de massa é
I_{\rm cm} = \frac{1}{12}\,M\,L^2.

Passo 3

Em seguida, determinamos a distância d entre o eixo que passa pelo centro da barra e o eixo pedido.
O centro da barra fica a L/2 de uma extremidade, e o eixo está a L/4 dessa mesma extremidade. Logo,
d = \bigl|\,\tfrac{L}{2} - \tfrac{L}{4}\bigr| = \frac{L}{4}.

Passo 4

Aplicamos o teorema dos eixos paralelos:
I = I_{\rm cm} + M\,d^2 = \frac{1}{12}\,M\,L^2 + M\Bigl(\frac{L}{4}\Bigr)^{2}.
Calculando a soma das frações:
\frac{1}{12} + \frac{1}{16} = \frac{4}{48} + \frac{3}{48} = \frac{7}{48}.

Resposta

I = \frac{7}{48}\,M\,L^2.

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