24^{\circ} Um cilindro vertical com 2 m de altura e 50 cm de diâmetro tem a sua superfície lateral mantida na temperatura uniforme de 80^{\circ} \mathrm{C} e está imerso em ar ambiente a 20^{\circ} \mathrm{C}. Determine o fluxo de calor e a taxa de calor por convecção entre a superfície lateral do cilindro e o meio ambiente.

Passo 1

O enunciado dá um cilindro vertical com altura 2\\ \mathrm{m} e diâmetro 50\\ \mathrm{cm}. A superfície lateral do cilindro está a 80^\circ\mathrm{C} e o ar ambiente está a 20^\circ\mathrm{C}. Pede-se:
  • o fluxo de calor (densidade de fluxo térmico) entre a superfície lateral e o meio ambiente;
  • a taxa de calor por convecção (potência térmica) entre a superfície lateral e o meio ambiente.
Dados extraídos do enunciado:
H = 2\\ \mathrm{m},\qquad D = 0{,}50\\ \mathrm{m},\qquad T_s = 80^\circ\mathrm{C},\qquad T_\infty = 20^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Breve explicação do que vamos calcular (sem resolver ainda): a troca de calor por convecção entre uma superfície e um fluido é dada pela lei de resfriamento de Newton:
\dot{Q} = h\,A\,(T_s - T_\infty),
onde \dot{Q} é a taxa de calor (W), h é o coeficiente convectivo (W,m{-2},K{-1}), A é a área de superfície (m^2) e (T_s-T_\infty) é a diferença de temperatura (K). O fluxo de calor (densidade) é
q''=\frac{\dot{Q}}{A}=h\,(T_s-T_\infty).
Para obter h em convecção livre (natural) usamos uma correlação empírica (porque h não é fornecido). Para um cilindro vertical normalmente usamos correlações em termos do número de Nusselt Nu e do número de Grashof/Rayleigh. A correlação de Churchill–Chu para convecção natural externa (aplicável a cilindros/placas verticais) será usada; isso exige propriedades do ar avaliadas à temperatura de filme.

Passo 3

Temperatura de filme e propriedades do ar (avaliadas à temperatura média entre superfície e ambiente):
T_f=\frac{T_s+T_\infty}{2}=\frac{80+20}{2}=50^\circ\mathrm{C}.
Usarei propriedades típicas do ar em T_f=50^\circ\mathrm{C} (valores padrão de tabela):
k \approx 0{,}0283\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}},\qquad Pr \approx 0{,}707,
\nu \\ (\text{viscosidade cinemática}) \approx 1{,}985\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2\,s^{-1}},\qquad \beta \approx \frac{1}{T_f(\mathrm{K})}=\frac{1}{323}\approx 0{,}003096\\ \mathrm{K^{-1}}.á
(Explanação rápida: \beta é o coeficiente de expansão térmica do gás, aproximado por 1/T em kelvin; k é condutividade térmica; Pr é o número de Prandtl; \nu é a viscosidade cinemática. Esses valores vêm de tabelas padrão para ar à temperatura indicada.)

Passo 4

Escolha da escala característica e cálculo do número de Rayleigh. Para um cilindro vertical toma-se comumente o diâmetro D como comprimento característico para a correlação de Nu. Definimos:
\Delta T = T_s-T_\infty = 60\\ \mathrm{K},\qquad D=0{,}50\\ \mathrm{m}.
Calculamos o número de Grashof e o número de Rayleigh:
Gr=\frac{g\,\beta\,\Delta T\,D^3}{\nu^2},
Ra = Gr\cdot Pr.
Agora os cálculos passo a passo. Primeiro g\,\beta\,\Delta T:
g\,\beta\,\Delta T = 9{,}81\cdot 0{,}003096\cdot 60 \approx 1{,}822\\ (\text{unidade adimensional}).
Em seguida D^3 = (0{,}50)^3 = 0{,}125\\ \mathrm{m^3}. Então o numerador de Gr é
1{,}822\cdot 0{,}125 = 0{,}2278.
E \nu^2=(1{,}985\times 10^{-5})^2 \approx 3{,}94\times 10^{-10}\\ \mathrm{m^4\,s^{-2}}. Portanto
Gr \approx \frac{0{,}2278}{3{,}94\times 10^{-10}}\approx 5{,}78\times 10^{8}.
Multiplicando por Pr,
Ra = Gr\cdot Pr \approx 5{,}78\times 10^{8}\cdot 0{,}707 \approx 4{,}09\times 10^{8}.

Passo 5

Aplicar a correlação de Churchill–Chu (forma apropriada para convecção natural externa):
Nu = 0{,}68 + \frac{0{,}670\,Ra^{1/4}}{\big(1 + (0{,}492/Pr)^{9/16}\big)^{4/9}}.
Agora calculamos cada termo. Primeiro Ra^{1/4}:
Ra^{1/4} = (4{,}09\times 10^8)^{1/4}\approx 142{,}4.
Calcule o fator de correção envolvendo Pr:
\frac{0{,}492}{Pr}=\frac{0{,}492}{0{,}707}\approx 0{,}696,
\big(0{,}696\big)^{9/16}\approx 0{,}816,\qquad 1+0{,}816=1{,}816,
\big(1{,}816\big)^{4/9}\approx 1{,}303.
Agora o segundo termo da correlação:
\frac{0{,}670\cdot 142{,}4}{1{,}303}\approx \frac{95{,}41}{1{,}303}\approx 73{,}2.
Somando o termo constante:
Nu \approx 0{,}68 + 73{,}2 \approx 73{,}88.

Passo 6

Obter o coeficiente convectivo h a partir de Nu. A definição de Nu é
Nu=\frac{h\,L_c}{k},
onde L_c é o comprimento característico usado (aqui L_c=D). Logo
h=\frac{Nu\;k}{D}.
Substituindo números:
h \approx \frac{73{,}88\cdot 0{,}0283}{0{,}50}\approx \frac{2{,}092}{0{,}50}\approx 4{,}184\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.
(Arredondando: h\approx 4{,}18\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.)

Passo 7

Área lateral do cilindro (somente superfície lateral, conforme enunciado):
A = \pi D H = \pi\cdot 0{,}50\cdot 2 = \pi\\ \mathrm{m^2}\approx 3{,}1416\\ \mathrm{m^2}.

Passo 8

Calcular a taxa de calor \dot{Q} e o fluxo de calor q''.
Diferença de temperatura:
\Delta T = 60\\ \mathrm{K}.
Fluxo de calor por unidade de área:
q'' = h\,\Delta T \approx 4{,}184\cdot 60 \approx 251{,}04\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
Taxa de calor total:
\dot{Q}=h\,A\,\Delta T \approx 4{,}184\cdot \pi \cdot 60 \approx 788{,}5\\ \mathrm{W}.
(Arredondando para apresentação: q''\approx 251{,}0\\ \mathrm{W\,m^{-2}} e \dot{Q}\approx 788{,}5\\ \mathrm{W}.)

Passo 9

Observações finais rápidas (interpretativas): os valores finais dependem das propriedades do ar usadas na temperatura de filme e da escolha da correlação (aqui Churchill–Chu com D como comprimento característico). Os resultados são consistentes com convecção natural em ar (coeficiente h da ordem de poucos \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}). Mantenha em mente que em exercícios de prova costuma-se aceitar esses procedimentos e arredondamentos.

Resposta

q'' \approx 251{,}0\\ \mathrm{W\,m^{-2}}
\dot{Q} \approx 788{,}5\\ \mathrm{W}

Exercícios relacionados