9.24 Dados vetores quaisquer do , mostre que:

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados vetores u,vinR^3, vale a identidade
(utimesv)cdot(utimesv)+(ucdotv)^2 =|u|^2,|v|^2
O conteúdo envolvido são os produtos escalar e vetorial em R^3 e a relação com ângulo entre vetores.

Passo 2

Lembremos as fórmulas geométricas para o produto escalar e para a magnitude do produto vetorial. Se theta é o ângulo entre u e v, então
ucdotv=|u|,|v|costheta,
|utimesv|=|u|,|v|sintheta

Passo 3

Usamos que a magnitude ao quadrado de um vetor é o seu produto escalar consigo mesmo. Logo,
(utimesv)cdot(utimesv) =|utimesv|^2 =|u|^2,|v|^2,sin^2theta

Passo 4

De modo semelhante,
(ucdotv)^2 =l(|u|,|v|costhetar)^2 =|u|^2,|v|^2,cos^2theta

Passo 5

Somando as duas expressões e usando sin^2theta+cos^2theta=1, obtemos
(utimesv)cdot(utimesv) +(ucdotv)^2 =|u|^2,|v|^2l(sin^2theta+cos^2thetar) =|u|^2,|v|^2

Resposta

A identidade está demonstrada.

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