1.30 Em um experimento, um corpo é lançado horizontalmente de cima de uma mesa de altura y (medida a partir do solo) com uma velocidade v , atingindo o solo a uma distância x da linha vertical do ponto de lançamento. A relação entre as grandezas medidas é
y=\frac{g x^{2}}{2 v^{2}}
onde \mathrm{g}\left(=9,7915 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) é a aceleração da gravidade no local. Considerando \mathrm{v}=(2,500 \pm 0,001) \mathrm{m} / \mathrm{s} e utilizando os dados da tabela abaixo, determine:
y(m) 0,7992 0,8000 0,8005 0,8006 0,7997
\pm 0,0005 \pm 0,0005 \pm 0,0005 \pm 0,0005 \pm 0,0005
x(m) 1,0097 1,0102 1,0105 1,0105 1,0101
\pm 0,0005 \pm 0,0005 \pm 0,0005 \pm 0,0005 \pm 0,0005
a) o valor mais provável de y e de x;
b) o erro aleatório provável de y e de x;
c) o valor da aceleração da gravidade g no local da experiência;
d) o erro propagado em g.
e) Escreva os resultados obtidos anteriormente segundo a teoria de erros.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado):
Dados (cada medida vem com incerteza indicada na tabela):
  • Medidas de y (em m): 0{,}7992,\;0{,}8000,\;0{,}8005,\;0{,}8006,\;0{,}7997. Incerteza indicada para cada medida: \pm 0{,}0005 m.
  • Medidas de x (em m): 1{,}0097,\;1{,}0102,\;1{,}0105,\;1{,}0105,\;1{,}0101. Incerteza indicada para cada medida: \pm 0{,}0005 m.
  • Velocidade lançada: v=(2{,}500\pm0{,}001)\\ \mathrm{m/s}.
  • Relacionamento teórico entre as grandezas:
y=\frac{g x^{2}}{2 v^{2}}.
O enunciado pede:
(a) o valor mais provável (i.e., média aritmética) de y e de x;
(b) o erro aleatório provável de y e de x (explicarei e calcularei o desvio amostral e o erro da média);
(c) o valor da aceleração da gravidade g no local, obtido pelos valores médios;
(d) o erro propagado em g causado pelas incertezas em y, x e v;
(e) escrever os resultados segundo a teoria de erros (ou seja, valores finais com incertezas).

Passo 2

Cálculo dos valores mais prováveis (médias aritméticas). Explicação rápida: a média aritmética de N medições x_i é
\overline{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i,
essa é a melhor estimativa do “valor mais provável” quando as leituras são ruído aleatório em torno do mesmo valor.
Para y (cinco medidas):
\overline{y}=\frac{0{,}7992+0{,}8000+0{,}8005+0{,}8006+0{,}7997}{5}=\frac{4{,}0000}{5}=0{,}8000\\ \mathrm{m}.
Para x (cinco medidas):
\overline{x}=\frac{1{,}0097+1{,}0102+1{,}0105+1{,}0105+1{,}0101}{5}=\frac{5{,}0510}{5}=1{,}0102\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Cálculo do erro aleatório provável. Vou explicar dois conceitos que são úteis e depois calcular ambos:
  • Desvio padrão amostral (erro aleatório das medidas individuais): mede a dispersão das medições em torno da média. Fórmula (amostral):
s=\sqrt{\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}\bigl(x_i-\overline{x}\bigr)^2}.
  • Erro da média (ou erro padrão da média): como a média resulta de N medidas independentes, a incerteza na média diminui ~ \sqrt{N}. É
s_{\overline{x}}=\frac{s}{\sqrt{N}}.
Normalmente quando pedem “erro aleatório provável” para o valor mais provável (a média) é apropriado reportar s_{\overline{x}}. Vou calcular s e s_{\overline{x}} para y e x.
Para y: diferenças em relação à média 0{,}8000:
\{-0{,}0008,\;0{,}0000,\;0{,}0005,\;0{,}0006,\;-0{,}0003\}.
Quadrados e soma:
\sum (y_i-\overline{y})^2 = 6{,}4\cdot10^{-7}+0+2{,}5\cdot10^{-7}+3{,}6\cdot10^{-7}+0{,}9\cdot10^{-7}=1{,}34\cdot10^{-6}.
Então
s_y=\sqrt{\frac{1{,}34\cdot10^{-6}}{5-1}}=\sqrt{3{,}35\cdot10^{-7}}\approx 5{,}78\cdot10^{-4}\\ \mathrm{m}.
E o erro da média:
s_{\overline{y}}=\frac{s_y}{\sqrt{5}}\approx\frac{5{,}78\cdot10^{-4}}{2{,}236}\approx2{,}59\cdot10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Para x: diferenças em relação à média 1{,}0102:
\{-0{,}0005,\;0{,}0000,\;0{,}0003,\;0{,}0003,\;-0{,}0001\}.
Quadrados e soma:
\sum (x_i-\overline{x})^2 = 2{,}5\cdot10^{-7}+0+0{,}9\cdot10^{-7}+0{,}9\cdot10^{-7}+0{,}1\cdot10^{-7}=4{,}4\cdot10^{-7}.
Então
s_x=\sqrt{\frac{4{,}4\cdot10^{-7}}{4}}=\sqrt{1{,}1\cdot10^{-7}}\approx3{,}32\cdot10^{-4}\\ \mathrm{m}.
E o erro da média:
s_{\overline{x}}=\frac{s_x}{\sqrt{5}}\approx\frac{3{,}32\cdot10^{-4}}{2{,}236}\approx1{,}49\cdot10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Resumo intermediário (valores e erros estatísticos):
  • \overline{y}=0{,}8000\\ \mathrm{m}, s_y\approx5{,}78\cdot10^{-4}\\ \mathrm{m}, s_{\overline{y}}\approx2{,}59\cdot10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • \overline{x}=1{,}0102\\ \mathrm{m}, s_x\approx3{,}32\cdot10^{-4}\\ \mathrm{m}, s_{\overline{x}}\approx1{,}49\cdot10^{-4}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Incorporando a incerteza instrumental indicada ( \pm0{,}0005 m) e formando a incerteza total para as médias. Explicação breve: a incerteza indicada na tabela ( \pm0{,}0005 m) é uma contribuição adicional (incerteza do instrumento / leitura). Para a incerteza final na média combina-se, de forma conservadora e independente, o erro estatístico da média com a incerteza instrumental por combinação quadrática:
\sigma_{\overline{x},\text{total}}=\sqrt{s_{\overline{x}}^{2}+\sigma_{\text{inst}}^{2}}.
Aqui adotamos \sigma_{\text{inst}}=0{,}0005\\ \mathrm{m} (como incerteza tipo-A ou tipo-B fornecida).
Calculemos:
Para y:
\sigma_{\overline{y},\text{total}}=\sqrt{(2{,}59\cdot10^{-4})^{2}+(5{,}00\cdot10^{-4})^{2}} =\sqrt{6{,}70\cdot10^{-8}+2{,}50\cdot10^{-7}} \approx5{,}62\cdot10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Para x:
\sigma_{\overline{x},\text{total}}=\sqrt{(1{,}49\cdot10^{-4})^{2}+(5{,}00\cdot10^{-4})^{2}} =\sqrt{2{,}22\cdot10^{-8}+2{,}50\cdot10^{-7}} \approx5{,}22\cdot10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Comentário: a incerteza instrumental domina aqui, por isso as incertezas totais ficam próximas de 5\times10^{-4} m.

Passo 5

Cálculo do valor de g usando as médias. Reescrevendo a fórmula e isolando g:
y=\frac{g x^{2}}{2 v^{2}}\quad\Rightarrow\quad g=\frac{2 v^{2} y}{x^{2}}.
Substituindo os valores médios \overline{y}=0{,}8000\\ \mathrm{m}, \overline{x}=1{,}0102\\ \mathrm{m} e \overline{v}=2{,}500\\ \mathrm{m/s}:
Calcule x^{2}:
\overline{x}^{2}=(1{,}0102)^{2}=1{,}02050404\\ \mathrm{m^{2}}.
Calcule 2v^{2}:
2\overline{v}^{2}=2\cdot(2{,}500)^{2}=2\cdot6{,}25=12{,}5\\ \mathrm{(m^{2}/s^{2})}.
Agora
g=\frac{12{,}5\cdot0{,}8000}{1{,}02050404}=\frac{10{,}0}{1{,}02050404}\approx9{,}79918\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 6

Cálculo do erro propagado em g. Vou usar a regra geral de propagação (Gauss) para variáveis independentes: se g=g(y,x,v), então a variância de g é
\sigma_g^2=\left(\frac{\partial g}{\partial y}\right)^2\sigma_y^2+\left(\frac{\partial g}{\partial x}\right)^2\sigma_x^2+\left(\frac{\partial g}{\partial v}\right)^2\sigma_v^2,
onde aqui usaremos \sigma_y=\sigma_{\overline{y},\text{total}}, \sigma_x=\sigma_{\overline{x},\text{total}} e \sigma_v=0{,}001\\ \mathrm{m/s} (fornecido).
Primeiro escrevemos as derivadas parciais de g=2 v^{2} y x^{-2}:
\frac{\partial g}{\partial y}=\frac{2 v^{2}}{x^{2}}, \qquad \frac{\partial g}{\partial x}=-\frac{4 v^{2} y}{x^{3}}=-\frac{2g}{x}, \qquad \frac{\partial g}{\partial v}=\frac{4 v y}{x^{2}}.
Uma forma mais simples usa erros relativos: como g\propto y\, v^{2}\, x^{-2}, a contribuição relativa fica
\left(\frac{\sigma_g}{g}\right)^{2}=\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^{2}+\bigl(2\frac{\sigma_v}{v}\bigr)^{2}+\bigl(2\frac{\sigma_x}{x}\bigr)^{2},
porque os expoentes são +1 para y, +2 para v e -2 para x (o sinal não importa, só o quadrado).
Agora os valores numéricos:
  • \sigma_y=\sigma_{\overline{y},\text{total}}\approx5{,}62\cdot10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • \sigma_x=\sigma_{\overline{x},\text{total}}\approx5{,}22\cdot10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • \sigma_v=0{,}001\\ \mathrm{m/s}.
  • y=0{,}8000\\ \mathrm{m},\\ x=1{,}0102\\ \mathrm{m},\\ v=2{,}500\\ \mathrm{m/s},\\ g\approx9{,}79918\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Cálculo das frações relativas:
\frac{\sigma_y}{y}\approx\frac{5{,}62\cdot10^{-4}}{0{,}8000}\approx7{,}03\cdot10^{-4}, \quad \frac{\sigma_v}{v}=\frac{0{,}001}{2{,}500}=4{,}00\cdot10^{-4}, \quad \frac{\sigma_x}{x}\approx\frac{5{,}22\cdot10^{-4}}{1{,}0102}\approx5{,}17\cdot10^{-4}.
Agora
\left(\frac{\sigma_g}{g}\right)^{2}=(7{,}03\cdot10^{-4})^{2}+(2\cdot4{,}00\cdot10^{-4})^{2}+(2\cdot5{,}17\cdot10^{-4})^{2}.
Calculando cada termo:
(7{,}03\cdot10^{-4})^{2}\approx4{,}94\cdot10^{-7}, \quad (8{,}00\cdot10^{-4})^{2}=6{,}40\cdot10^{-7}, \quad (1{,}034\cdot10^{-3})^{2}\approx1{,}07\cdot10^{-6}.
Somando:
\left(\frac{\sigma_g}{g}\right)^{2}\approx2{,}201\cdot10^{-6}, \quad\Rightarrow\quad \frac{\sigma_g}{g}\approx1{,}484\cdot10^{-3}.
Portanto
\sigma_g\approx g\cdot1{,}484\cdot10^{-3}\approx9{,}79918\cdot1{,}484\cdot10^{-3}\approx0{,}0145\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 7

Apresentação final segundo a teoria de erros (formatando valores com incertezas). Regras práticas: normalmente se arredonda a incerteza para uma ou duas cifras significativas e apresenta o valor com o mesmo número de casas decimais.
  • Para y: \overline{y}=0{,}8000\\ \mathrm{m} e \sigma_{\overline{y},\text{total}}\approx0{,}000562\\ \mathrm{m}. Arredondando a incerteza para duas cifras significativas obtemos 0{,}00056\\ \mathrm{m} (ou, de forma ainda mais usual, para uma cifra significativa: 0{,}0006\\ \mathrm{m}). Vou adotar duas cifras significativas na incerteza. Então:
y=(0{,}80000\pm0{,}00056)\\ \mathrm{m}.
  • Para x: \overline{x}=1{,}0102\\ \mathrm{m} e \sigma_{\overline{x},\text{total}}\approx0{,}000522\\ \mathrm{m}. Adotando duas cifras:
x=(1{,}01020\pm0{,}00052)\\ \mathrm{m}.
  • Para v o enunciado já deu:
v=(2{,}500\pm0{,}001)\\ \mathrm{m/s}.
  • Para g: g\approx9{,}79918\\ \mathrm{m/s^{2}} com \sigma_g\approx0{,}0145\\ \mathrm{m/s^{2}}. Arredondando a incerteza para duas cifras significativas obtemos 0{,}014 ou para uma cifra significante 0{,}01. Vou apresentar com duas cifras:
g=(9{,}799\pm0{,}015)\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Observação prática: pode-se também apresentar y e x com incerteza arredondada a uma cifra significativa, por exemplo y=(0{,}8000\pm0{,}0006)\\ \mathrm{m}, x=(1{,}0102\pm0{,}0005)\\ \mathrm{m}. Ambas as formas são aceitas, desde que consistentes.

Resposta

y=(0{,}80000\pm0{,}00056)\\ \mathrm{m}
x=(1{,}01020\pm0{,}00052)\\ \mathrm{m}
g=(9{,}799\pm0{,}015)\\ \mathrm{m/s^{2}}

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