1. Uma barra cilíndrica com 120 mm de comprimento e diâmetro de 15 mm deve ser deformada utilizando-se uma carga de tração de 35 KN . Ela não deve sofrer deformação plástica, e a redução no seu diâmetro não deve ser superior a 0,012 \mathrm{~mm}. Entre os materiais listados a seguir, quais são os possíveis candidatos? Justifique sua(s) escolha(s).
Material Módulo de Elasticidade (GPa) Resistência ao escoamento (MPa) Coeficiente de Poisson
Liga de aluminio 70 250 0,33
Liga de titânio 105 850 0,36
Liga de aço 205 550 0,27
Liga de magnésio 45 170 0,35

Passo 1

O enunciado pede que determinemos, dentre as ligas dadas, quais podem ser usadas para uma barra cilíndrica com as restrições: não ocorrer deformação plástica e a redução do diâmetro não ser superior a 0,012\\ \mathrm{mm}, quando a barra é submetida a uma carga de tração de 35\\ \mathrm{kN}. Dados fornecidos:
  • Comprimento da barra: 120\\ \mathrm{mm} (não é necessária para as condições pedidas, mas foi informada).
  • Diâmetro inicial: d=15\\ \mathrm{mm}.
  • Força de tração: F=35\\ \mathrm{kN}=35000\\ \mathrm{N}.
  • Limite de redução de diâmetro admissível: \Delta d_{\max}=0,012\\ \mathrm{mm}.
Tabela de materiais (copiada do enunciado):
  • Liga de alumínio: E=70\\ \mathrm{GPa}, resistência ao escoamento =250\\ \mathrm{MPa}, coeficiente de Poisson \nu=0,33.
  • Liga de titânio: E=105\\ \mathrm{GPa}, resistência ao escoamento =850\\ \mathrm{MPa}, \nu=0,36.
  • Liga de aço: E=205\\ \mathrm{GPa}, resistência ao escoamento =550\\ \mathrm{MPa}, \nu=0,27.
  • Liga de magnésio: E=45\\ \mathrm{GPa}, resistência ao escoamento =170\\ \mathrm{MPa}, \nu=0,35.
O que precisamos verificar para cada material:
  1. A tensão axial média \sigma=\dfrac{F}{A} é menor que a resistência ao escoamento (para garantir ausência de escoamento plástico).
  2. A redução do diâmetro elástica estimada pela lei de Hooke e pelo efeito de Poisson satisfaz \Delta d \le 0,012\\ \mathrm{mm}.

Passo 2

Cálculo da área da seção transversal (círculo) da barra. Fórmula da área:
A=\frac{\pi d^{2}}{4}
Substituindo d=15\\ \mathrm{mm}:
A=\frac{\pi(15)^{2}}{4}=\frac{225\pi}{4}=56{,}25\,\pi\\ \mathrm{mm}^{2}\approx 176{,}7146\\ \mathrm{mm}^{2}.
Explicação: usamos a fórmula habitual da área de um círculo. As unidades ficam em \mathrm{mm}^{2} porque d está em \mathrm{mm}.

Passo 3

Cálculo da tensão axial média aplicada \sigma. Fórmula:
\sigma=\frac{F}{A}.
Substituindo F=35000\\ \mathrm{N} e A em \mathrm{mm}^{2} (lembrando que 1\\ \mathrm{MPa}=1\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2}):
\sigma=\frac{35000}{176{,}7146}\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2}\approx 198{,}12\\ \mathrm{MPa}.
Comentário didático: tensão \sigma tem unidade de pressão (MPa neste contexto). Compararemos este valor com as resistências ao escoamento dadas (em MPa) para verificar se há risco de escoamento plástico.

Passo 4

Critério 1 — ausência de escoamento plástico: devemos ter
\sigma < \sigma_{\text{escoamento}}
para cada material. Vou comparar \sigma\approx 198{,}12\\ \mathrm{MPa} com os valores fornecidos:
  • Alumínio: 250\\ \mathrm{MPa}\Rightarrow 198{,}12<250 (não escoa).
  • Titânio: 850\\ \mathrm{MPa}\Rightarrow 198{,}12<850 (não escoa).
  • Aço: 550\\ \mathrm{MPa}\Rightarrow 198{,}12<550 (não escoa).
  • Magnésio: 170\\ \mathrm{MPa}\Rightarrow 198{,}12>170 (escoamento — plástico).
Conclusão parcial: a liga de magnésio falha na condição de não escoar; as outras três passam neste critério.

Passo 5

Agora tratamos da redução de diâmetro elástica (critério 2). Conceitos e fórmulas:
  • A deformação axial elástica é dada por (Lei de Hooke no alongamento):
\varepsilon_{\text{axial}}=\frac{\sigma}{E},
onde \varepsilon_{\text{axial}} é adimensional (razão de deformação), \sigma é a tensão axial em \mathrm{MPa} e E é o módulo de elasticidade em \mathrm{MPa}. Observação de unidades: os E dados em \mathrm{GPa} devem ser convertidos para \mathrm{MPa} multiplicando por 1000.
  • A contração lateral (redução do diâmetro) devido ao efeito de Poisson tem magnitude
\Delta d = \nu \, \varepsilon_{\text{axial}} \, d,
onde \nu é o coeficiente de Poisson e d é o diâmetro original. Aqui \Delta d terá unidade de \mathrm{mm} porque d está em \mathrm{mm}.
Vamos calcular passo a passo para cada material (mostrar conversão E para \mathrm{MPa}, \varepsilon, e \Delta d).

Passo 6

Cálculos numéricos detalhados:
  1. Liga de alumínio: E=70\\ \mathrm{GPa}=70000\\ \mathrm{MPa}, \nu=0,33.
\varepsilon=\frac{198{,}12}{70000}\approx 0{,}0028303.
\Delta d = 0{,}33\cdot 0{,}0028303\cdot 15\approx 0{,}01401\\ \mathrm{mm}.
Comparação com o máximo: 0{,}01401>0{,}012, portanto a redução do diâmetro excede o limite admissível.
  1. Liga de titânio: E=105\\ \mathrm{GPa}=105000\\ \mathrm{MPa}, \nu=0,36.
\varepsilon=\frac{198{,}12}{105000}\approx 0{,}0018878.
\Delta d = 0{,}36\cdot 0{,}0018878\cdot 15\approx 0{,}01020\\ \mathrm{mm}.
Comparação: 0{,}01020\le 0{,}012, portanto satisfaz o limite de redução de diâmetro.
  1. Liga de aço: E=205\\ \mathrm{GPa}=205000\\ \mathrm{MPa}, \nu=0,27.
\varepsilon=\frac{198{,}12}{205000}\approx 0{,}0009669.
\Delta d = 0{,}27\cdot 0{,}0009669\cdot 15\approx 0{,}00392\\ \mathrm{mm}.
Comparação: 0{,}00392\le 0{,}012, satisfaz o limite.
  1. Liga de magnésio: E=45\\ \mathrm{GPa}=45000\\ \mathrm{MPa}, \nu=0,35.
\varepsilon=\frac{198{,}12}{45000}\approx 0{,}0044027.
\Delta d = 0{,}35\cdot 0{,}0044027\cdot 15\approx 0{,}02312\\ \mathrm{mm}.
Comparação: 0{,}02312>0{,}012 e além disso já vimos que o magnésio escoa ( \sigma>\sigma_{\text{escoamento}}), então é inviável.

Passo 7

Interpretação didática dos resultados:
  • Para ser candidato válido um material precisa satisfazer os dois critérios simultaneamente: (i) \sigma<\sigma_{\text{escoamento}} e (ii) \Delta d\le 0{,}012\\ \mathrm{mm}.
  • Dos cálculos: alumínio passa no critério (i) mas falha no critério (ii) porque a sua menor rigidez (E) combinada com \nu produz contração lateral maior que o permitido. O magnésio falha em ambos os critérios. Titânio e aço passam em ambos os critérios (tensão abaixo do escoamento e redução de diâmetro dentro do limite).

Resposta

Liga de titânio
Liga de aço

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