- Uma barra cilíndrica com 120 mm de comprimento e diâmetro de 15 mm deve ser deformada utilizando-se uma carga de tração de 35 KN . Ela não deve sofrer deformação plástica, e a redução no seu diâmetro não deve ser superior a
. Entre os materiais listados a seguir, quais são os possíveis candidatos? Justifique sua(s) escolha(s).
Material
Módulo de Elasticidade (GPa)
Resistência ao escoamento (MPa)
Coeficiente de Poisson
Liga de aluminio
70
250
0,33
Liga de titânio
105
850
0,36
Liga de aço
205
550
0,27
Liga de magnésio
45
170
0,35
| Material | Módulo de Elasticidade (GPa) | Resistência ao escoamento (MPa) | Coeficiente de Poisson |
| Liga de aluminio | 70 | 250 | 0,33 |
| Liga de titânio | 105 | 850 | 0,36 |
| Liga de aço | 205 | 550 | 0,27 |
| Liga de magnésio | 45 | 170 | 0,35 |
Passo 1
O enunciado pede que determinemos, dentre as ligas dadas, quais podem ser usadas para uma barra cilíndrica com as restrições: não ocorrer deformação plástica e a redução do diâmetro não ser superior a
, quando a barra é submetida a uma carga de tração de
. Dados fornecidos:
- Comprimento da barra:
(não é necessária para as condições pedidas, mas foi informada). - Diâmetro inicial:
. - Força de tração:
. - Limite de redução de diâmetro admissível:
.
Tabela de materiais (copiada do enunciado):
- Liga de alumínio:
, resistência ao escoamento , coeficiente de Poisson . - Liga de titânio:
, resistência ao escoamento , . - Liga de aço:
, resistência ao escoamento , . - Liga de magnésio:
, resistência ao escoamento , .
O que precisamos verificar para cada material:
- A tensão axial média
é menor que a resistência ao escoamento (para garantir ausência de escoamento plástico). - A redução do diâmetro elástica estimada pela lei de Hooke e pelo efeito de Poisson satisfaz
.
Passo 2
Cálculo da área da seção transversal (círculo) da barra. Fórmula da área:
Substituindo
:
Explicação: usamos a fórmula habitual da área de um círculo. As unidades ficam em
porque
está em
.
Passo 3
Cálculo da tensão axial média aplicada
. Fórmula:
Substituindo
e
em
(lembrando que
):
Comentário didático: tensão
tem unidade de pressão (MPa neste contexto). Compararemos este valor com as resistências ao escoamento dadas (em MPa) para verificar se há risco de escoamento plástico.
Passo 4
Critério 1 — ausência de escoamento plástico: devemos ter
para cada material. Vou comparar
com os valores fornecidos:
- Alumínio:
(não escoa). - Titânio:
(não escoa). - Aço:
(não escoa). - Magnésio:
(escoamento — plástico).
Conclusão parcial: a liga de magnésio falha na condição de não escoar; as outras três passam neste critério.
Passo 5
Agora tratamos da redução de diâmetro elástica (critério 2). Conceitos e fórmulas:
- A deformação axial elástica é dada por (Lei de Hooke no alongamento):
onde
é adimensional (razão de deformação),
é a tensão axial em
e
é o módulo de elasticidade em
. Observação de unidades: os
dados em
devem ser convertidos para
multiplicando por
.
- A contração lateral (redução do diâmetro) devido ao efeito de Poisson tem magnitude
onde
é o coeficiente de Poisson e
é o diâmetro original. Aqui
terá unidade de
porque
está em
.
Vamos calcular passo a passo para cada material (mostrar conversão
para
,
, e
).
Passo 6
Cálculos numéricos detalhados:
- Liga de alumínio:
, .
Comparação com o máximo:
, portanto a redução do diâmetro excede o limite admissível.
- Liga de titânio:
, .
Comparação:
, portanto satisfaz o limite de redução de diâmetro.
- Liga de aço:
, .
Comparação:
, satisfaz o limite.
- Liga de magnésio:
, .
Comparação:
e além disso já vimos que o magnésio escoa (
), então é inviável.
Passo 7
Interpretação didática dos resultados:
- Para ser candidato válido um material precisa satisfazer os dois critérios simultaneamente: (i)
e (ii) . - Dos cálculos: alumínio passa no critério (i) mas falha no critério (ii) porque a sua menor rigidez (E) combinada com
produz contração lateral maior que o permitido. O magnésio falha em ambos os critérios. Titânio e aço passam em ambos os critérios (tensão abaixo do escoamento e redução de diâmetro dentro do limite).
Resposta
Liga de titânio
Liga de aço
Liga de aço