P. 24 (UFC-CE) Dois homens A e B, ambos de massa M, estão nas extremidades de uma plataforma homogênea, de comprimento L=2,16 \mathrm{~m} e massa 5 M, que pode se deslocar sobre uma superficie horizontal plana sem atrito. O homem A joga uma bola de massa \frac{M}{5} para o homem B, que a segura firmemente. Determine, em centímetros, o deslocamento da plataforma com relaçāo à posiçāo inicial.

Passo 1

O enunciado pede para determinar, em centímetros, o deslocamento da plataforma com relação à posição inicial depois que o homem A joga uma bola para o homem B e este a segura. Dados fornecidos:
\,
\bullet massas: homem A tem massa M, homem B tem massa M, plataforma tem massa 5M, bola tem massa \dfrac{M}{5}.
\bullet comprimento da plataforma: L=2,16\\ \mathrm{m}.
\bullet inicialmente A e B estão nas extremidades da plataforma (ou seja, nas posições dos extremos de um segmento de comprimento L).
\bullet superfície horizontal sem atrito (logo nenhuma força horizontal externa).
O que se pede: o deslocamento (módulo e direção) da plataforma em relação à posição inicial, expresso em centímetros.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicação didática): como não há forças externas horizontais atuando no sistema “plataforma + dois homens + bola”, o centro de massa (CM) total do sistema não se desloca no referencial inercial. O CM é a média ponderada das posições pelos respectivos valores de massa.
Fórmula do centro de massa para um conjunto de massas pontuais:
X_{\mathrm{CM}}=\frac{\sum_i m_i x_i}{\sum_i m_i},
onde m_i é a massa do i-ésimo corpo e x_i é sua posição (um número real) no eixo horizontal escolhido. Explicando as variáveis: X_{\mathrm{CM}} é a coordenada do centro de massa; m_i são as massas; x_i são as coordenadas dessas massas.
Estratégia prática: calcular a coordenada do CM antes do lançamento ( X_i) e depois (quando a bola já está com B e tudo voltou a repouso) ( X_f). Igualamos X_i e X_f e assim obtemos o deslocamento da plataforma. Escolho como origem inicial o centro da plataforma na configuração inicial (ou seja, posição inicial do centro da plataforma é x=0). Adoto sinal negativo para a esquerda.

Passo 3

Cálculo do centro de massa inicial X_i.
Posições iniciais (referidas à origem no centro inicial da plataforma):

homem A: x_A=-\dfrac{L}{2} (extremidade esquerda),
homem B: x_B=+\dfrac{L}{2} (extremidade direita),
centro da plataforma (massa 5M): x_{\text{plat}}=0,
bola (com A inicialmente): x_{\text{bola}}=-\dfrac{L}{2}.
A massa total do sistema é
M_{\text{tot}}=M+M+5M+\frac{M}{5}=\frac{36}{5}M.
Agora a fórmula do CM inicial:
X_i=\frac{M\left(-\dfrac{L}{2}\right)+M\left(\dfrac{L}{2}\right)+5M\cdot 0+\dfrac{M}{5}\left(-\dfrac{L}{2}\right)}{\dfrac{36}{5}M}.
Calculemos o numerador passo a passo: os termos M(-L/2) e M(+L/2) se cancelam; resta apenas o termo da bola:
\text{numerador}=-\frac{M L}{10}.
Logo
X_i=\frac{-\dfrac{M L}{10}}{\dfrac{36}{5}M}=-\frac{L}{10}\cdot\frac{5}{36}=-\frac{L}{72}.
Portanto o CM inicial está deslocado para a esquerda do centro da plataforma inicial em \dfrac{L}{72}.

Passo 4

Cálculo do centro de massa final X_f após a manobra (bola entregue a B) assumindo que a plataforma sofreu um deslocamento d para a esquerda (ou seja, o centro da plataforma final está em x=-d). Nosso objetivo é achar d.
Posições finais (referidas ao mesmo referencial inercial cuja origem é a posição inicial do centro da plataforma):

centro da plataforma: x_{\text{plat}}=-d,
homem A: x_A=-d-\dfrac{L}{2} (continua na extremidade esquerda da plataforma),
homem B: x_B=-d+\dfrac{L}{2} (extremidade direita),
bola (agora com B): x_{\text{bola}}=-d+\dfrac{L}{2}.
Usando a fórmula do CM:
X_f=\frac{M\left(-d-\dfrac{L}{2}\right)+M\left(-d+\dfrac{L}{2}\right)+5M(-d)+\dfrac{M}{5}\left(-d+\dfrac{L}{2}\right)}{\dfrac{36}{5}M}.
Calculemos o numerador agrupando termos em d e em L.
Termos em d:
M(-d)+M(-d)+5M(-d)+\frac{M}{5}(-d)=-\left(2M+5M+\frac{M}{5}\right)d=-\frac{36}{5}M d.
Termos em L:
M\left(-\frac{L}{2}\right)+M\left(\frac{L}{2}\right)+\frac{M}{5}\left(\frac{L}{2}\right)=0+\frac{M L}{10}=\frac{M L}{10}.
Somando,
\text{numerador}=-\frac{36}{5}M d+\frac{M L}{10}.
Dividindo pela massa total \dfrac{36}{5}M,
X_f=-d+\frac{ \dfrac{M L}{10} }{ \dfrac{36}{5}M }=-d+\frac{L}{10}\cdot\frac{5}{36}=-d+\frac{L}{72}.

Passo 5

Impondo conservação do centro de massa: X_f=X_i. Temos
-d+\frac{L}{72}=-\frac{L}{72}.
Isolando d:
-d=-\frac{L}{72}-\frac{L}{72}=-\frac{L}{36}\quad\Rightarrow\quad d=\frac{L}{36}.
Substituindo L=2,16\\ \mathrm{m}:
d=\frac{2,16}{36}=0,06\\ \mathrm{m}=6\\ \mathrm{cm}.
Interpretação física rápida: quando A lança a bola para a direita o sistema (plataforma+homens) tem um recuo para a esquerda; depois que B segura a bola, o conjunto fica parado novamente, mas o centro da plataforma deslocou-se para a esquerda em 6\\ \mathrm{cm}.

Resposta

6\\ \mathrm{cm}

Exercícios relacionados