P. 24 (UFC-CE) Dois homens
e
, ambos de massa
, estão nas extremidades de uma plataforma homogênea, de comprimento
e massa
, que pode se deslocar sobre uma superficie horizontal plana sem atrito.
homem
joga uma bola de massa
para o homem
, que a segura firmemente. Determine, em centímetros, o deslocamento da plataforma com relaçāo à posiçāo inicial.
Passo 1
O enunciado pede para determinar, em centímetros, o deslocamento da plataforma com relação à posição inicial depois que o homem
joga uma bola para o homem
e este a segura. Dados fornecidos:
massas: homem
tem massa
, homem
tem massa
, plataforma tem massa
, bola tem massa
.
comprimento da plataforma:
.
inicialmente
e
estão nas extremidades da plataforma (ou seja, nas posições dos extremos de um segmento de comprimento
).
superfície horizontal sem atrito (logo nenhuma força horizontal externa).
O que se pede: o deslocamento (módulo e direção) da plataforma em relação à posição inicial, expresso em centímetros.
O que se pede: o deslocamento (módulo e direção) da plataforma em relação à posição inicial, expresso em centímetros.
Passo 2
Princípio físico que vamos usar (explicação didática): como não há forças externas horizontais atuando no sistema “plataforma + dois homens + bola”, o centro de massa (CM) total do sistema não se desloca no referencial inercial. O CM é a média ponderada das posições pelos respectivos valores de massa.
Fórmula do centro de massa para um conjunto de massas pontuais:
onde
é a massa do i-ésimo corpo e
é sua posição (um número real) no eixo horizontal escolhido. Explicando as variáveis:
é a coordenada do centro de massa;
são as massas;
são as coordenadas dessas massas.
Estratégia prática: calcular a coordenada do CM antes do lançamento (
) e depois (quando a bola já está com
e tudo voltou a repouso) (
). Igualamos
e
e assim obtemos o deslocamento da plataforma. Escolho como origem inicial o centro da plataforma na configuração inicial (ou seja, posição inicial do centro da plataforma é
). Adoto sinal negativo para a esquerda.
Passo 3
Cálculo do centro de massa inicial
.
Posições iniciais (referidas à origem no centro inicial da plataforma):
homem :
(extremidade esquerda),
homem :
(extremidade direita),
centro da plataforma (massa ):
,
bola (com inicialmente):
.
homem
homem
centro da plataforma (massa
bola (com
A massa total do sistema é
Agora a fórmula do CM inicial:
Calculemos o numerador passo a passo: os termos
e
se cancelam; resta apenas o termo da bola:
Logo
Portanto o CM inicial está deslocado para a esquerda do centro da plataforma inicial em
.
Passo 4
Cálculo do centro de massa final
após a manobra (bola entregue a
) assumindo que a plataforma sofreu um deslocamento
para a esquerda (ou seja, o centro da plataforma final está em
). Nosso objetivo é achar
.
Posições finais (referidas ao mesmo referencial inercial cuja origem é a posição inicial do centro da plataforma):
centro da plataforma: ,
homem :
(continua na extremidade esquerda da plataforma),
homem :
(extremidade direita),
bola (agora com ):
.
centro da plataforma:
homem
homem
bola (agora com
Usando a fórmula do CM:
Calculemos o numerador agrupando termos em
e em
.
Termos em
:
Termos em
:
Somando,
Dividindo pela massa total
,
Passo 5
Impondo conservação do centro de massa:
. Temos
Isolando
:
Substituindo
:
Interpretação física rápida: quando
lança a bola para a direita o sistema (plataforma+homens) tem um recuo para a esquerda; depois que
segura a bola, o conjunto fica parado novamente, mas o centro da plataforma deslocou-se para a esquerda em
.