P. 9 (UFC-CE) Um conjunto de trēs partículas, todas de igual massa m, está situado na origem de um sistema de coordenadas cartesianas x y. Em dado instante, uma delas é atirada na direção x, com velocidade constante de módulo V_{X}=9,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e outra é atirada na direção y, com velocidade constante de módulo V_{y}=12,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, ficando a terceira em repouso na origem. Determine o módulo da velocidade do centro de massa do conjunto.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem clara.
  • Informações fornecidas:
    • 3 partículas, cada uma de massa m, inicialmente todas na origem.
    • Uma partícula é lançada na direção x com velocidade de módulo V_x=9{,}0\\ \mathrm{m/s}.
    • Outra partícula é lançada na direção y com velocidade de módulo V_y=12{,}0\\ \mathrm{m/s}.
    • A terceira partícula permanece em repouso (velocidade nula).
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar o módulo (ou seja, a velocidade escalar) da velocidade do centro de massa do conjunto.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (sem resolver ainda): a velocidade do centro de massa de um sistema de partículas é o “médio ponderado” das velocidades das partículas, ponderado pelas massas. A fórmula vetorial é
\vec V_{\mathrm{CM}}=\frac{1}{M}\sum_{i} m_i\vec v_i,
onde:
  • \vec V_{\mathrm{CM}} é o vetor velocidade do centro de massa;
  • m_i é a massa da i-ésima partícula;
  • \vec v_i é o vetor velocidade da i-ésima partícula;
  • M=\sum_i m_i é a massa total do sistema.
Intuição curta: cada partícula “puxa” o centro de massa segundo sua massa e velocidade; se massas iguais, é simplesmente a média das velocidades.

Passo 3

Aplicando ao caso em que todas as massas são iguais: aqui m_1=m_2=m_3=m, e M=3m. Substituindo na fórmula,
\vec V_{\mathrm{CM}}=\frac{1}{3m}\bigl(m\vec v_1+m\vec v_2+m\vec v_3\bigr) =\frac{1}{3}\bigl(\vec v_1+\vec v_2+\vec v_3\bigr).
Ou seja, quando as três massas são iguais, a velocidade do centro de massa é simplesmente a média vetorial das três velocidades.

Passo 4

Identifique as velocidades vetoriais das partículas (coloquei as componentes x,y em \mathrm{m/s}):
\vec v_1=(9{,}0,\;0)\\ \mathrm{m/s},\qquad \vec v_2=(0,\;12{,}0)\\ \mathrm{m/s},\qquad \vec v_3=(0,\;0)\\ \mathrm{m/s}.
Expliquei: peguei os dados do enunciado — uma foi lançada ao longo do eixo x com 9{,}0\\ \mathrm{m/s}, outra ao longo do eixo y com 12{,}0\\ \mathrm{m/s}, e a terceira está em repouso.

Passo 5

Calcule a soma vetorial e divida por 3:
\vec v_1+\vec v_2+\vec v_3=(9{,}0,\;0)+(0,\;12{,}0)+(0,\;0)=(9{,}0,\;12{,}0).
Logo
\vec V_{\mathrm{CM}}=\frac{1}{3}(9{,}0,\;12{,}0)=(3{,}0,\;4{,}0)\\ \mathrm{m/s}.
Mostrei as contas de componente: 9{,}0/3=3{,}0 e 12{,}0/3=4{,}0.

Passo 6

Agora o módulo (comprimento) do vetor \vec V_{\mathrm{CM}}: para um vetor (V_x,V_y) usamos o Teorema de Pitágoras,
\bigl|\vec V_{\mathrm{CM}}\bigr|=\sqrt{V_x^2+V_y^2}.
Aqui V_x=3{,}0 e V_y=4{,}0, então
\bigl|\vec V_{\mathrm{CM}}\bigr|=\sqrt{(3{,}0)^2+(4{,}0)^2}=\sqrt{9{,}0+16{,}0}=\sqrt{25{,}0}=5{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Comentário amigável: é o clássico triângulo 3- 4- 5, por isso dá um número inteiro.

Resposta

5{,}0\\ \mathrm{m/s}

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