O consumo de CPU de um servidor durante uma operação é uma variável aleatória X com densidade:
f_{X}(x)=\frac{x}{2}, 0<x<k
O aquecimento da GPU do mesmo servidor é uma variável aleatória Y com densidade:
f_{Y}(y)=\frac{y^{3}}{4}, 0<y<2
Calcule a probabilidade de que o aquecimento da GPU seja menor que o consumo de CPU, isto é, P(Y<X).
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
Pergunta: calcular P(Y<X), isto é, a probabilidade de que a aquecimento da GPU Y seja menor que o consumo de CPU X.
Dados fornecidos:
A densidade de X é f_X(x)=\dfrac{x}{2} para 0<x<k.
A densidade de Y é f_Y(y)=\dfrac{y^{3}}{4} para 0<y<2.
Observação necessária (assunção usada): vou assumir que X e Y são variáveis independentes (situação padrão quando não é dito o contrário).
Passos seguintes: primeiro encontro o valor de k exigido pela normalização de f_X; depois escrevo a probabilidade P(Y<X) como integral dupla usando a independência e calculo.
Passo 2
Determinar k exigido pela condição de densidade (normalização): uma densidade tem que integrar 1 sobre seu suporte. Assim
Expressar P(Y<X) usando independência: como X e Y são independentes, a densidade conjunta é f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)\,f_Y(y). A região onde Y<X com os suportes dados é
Interpretação rápida e ânimo: a probabilidade encontrada é \dfrac{1}{3}, ou seja, aproximadamente 33{,}3\%. Está tudo consistente com os suportes iguais e densidades pesando mais valores maiores de Y (pois f_Y cresce como y^{3}), o que faz Y ter tendência a ficar maior que X e por isso P(Y<X) não é muito grande. Vai dar tudo certo na prova — respira e confia no passo a passo!