O consumo de CPU de um servidor durante uma operação é uma variável aleatória X com densidade:
f_{X}(x)=\frac{x}{2}, 0<x<k
O aquecimento da GPU do mesmo servidor é uma variável aleatória Y com densidade:
f_{Y}(y)=\frac{y^{3}}{4}, 0<y<2
  1. Calcule a probabilidade de que o aquecimento da GPU seja menor que o consumo de CPU, isto é, P(Y<X).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pergunta: calcular P(Y<X), isto é, a probabilidade de que a aquecimento da GPU Y seja menor que o consumo de CPU X.
  • Dados fornecidos:
    • A densidade de X é f_X(x)=\dfrac{x}{2} para 0<x<k.
    • A densidade de Y é f_Y(y)=\dfrac{y^{3}}{4} para 0<y<2.
  • Observação necessária (assunção usada): vou assumir que X e Y são variáveis independentes (situação padrão quando não é dito o contrário).
  • Passos seguintes: primeiro encontro o valor de k exigido pela normalização de f_X; depois escrevo a probabilidade P(Y<X) como integral dupla usando a independência e calculo.

Passo 2

Determinar k exigido pela condição de densidade (normalização): uma densidade tem que integrar 1 sobre seu suporte. Assim
\int_{0}^{k} f_X(x)\,dx = 1.
Substituindo f_X(x)=\dfrac{x}{2},
\int_{0}^{k} \frac{x}{2}\,dx = 1.
Calculo da integral:
\int_{0}^{k} \frac{x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{k} = \frac{k^{2}}{4}.
Igualando a 1:
\frac{k^{2}}{4}=1 \quad\Rightarrow\quad k^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad k=2
(usa-se k>0 porque o suporte é 0<x<k). Portanto o suporte de X é 0<x<2.

Passo 3

Verificação rápida da densidade de Y (opcional, só para ficar seguro): integrar f_Y em 0 a 2,
\int_{0}^{2}\frac{y^{3}}{4}\,dy = \frac{1}{4}\cdot\frac{y^{4}}{4}\Big|_{0}^{2} = \frac{1}{16}\cdot 2^{4} = \frac{16}{16}=1.
Logo f_Y está normalizada e seu suporte é 0<y<2.

Passo 4

Expressar P(Y<X) usando independência: como X e Y são independentes, a densidade conjunta é f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)\,f_Y(y). A região onde Y<X com os suportes dados é
\{(x,y): 0<x<2,\;0<y<x\}.
Portanto podemos escrever
P(Y<X)=\int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{x} f_X(x)\,f_Y(y)\,dy\,dx.
Escolhi integrar primeiro em y porque o limite interno é simples: y vai de 0 até x.

Passo 5

Calcular a integral interna em y:
\int_{y=0}^{x} f_Y(y)\,dy = \int_{0}^{x} \frac{y^{3}}{4}\,dy = \frac{1}{4}\cdot\frac{y^{4}}{4}\Big|_{0}^{x} = \frac{x^{4}}{16}.

Passo 6

Agora inserir o resultado na integral em x. Temos f_X(x)=\dfrac{x}{2}, então o integrando fica
f_X(x)\cdot\left(\int_{0}^{x} f_Y(y)\,dy\right) = \frac{x}{2}\cdot\frac{x^{4}}{16} = \frac{x^{5}}{32}.
Assim
P(Y<X)=\int_{0}^{2} \frac{x^{5}}{32}\,dx = \frac{1}{32}\cdot\frac{x^{6}}{6}\Big|_{0}^{2}.
Avalio a expressão:
\frac{1}{32}\cdot\frac{2^{6}}{6} = \frac{1}{32}\cdot\frac{64}{6} = \frac{64}{192} = \frac{1}{3}.

Passo 7

Interpretação rápida e ânimo: a probabilidade encontrada é \dfrac{1}{3}, ou seja, aproximadamente 33{,}3\%. Está tudo consistente com os suportes iguais e densidades pesando mais valores maiores de Y (pois f_Y cresce como y^{3}), o que faz Y ter tendência a ficar maior que X e por isso P(Y<X) não é muito grande. Vai dar tudo certo na prova — respira e confia no passo a passo!

Resposta

\dfrac{1}{3}

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