25-49 Use qualquer método para determinar se a série converge.
25. sumk=0^infty 7^kk!

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série sumk=0^infty 7^kk!. O conteúdo aqui são séries e vamos usar o teste da razão, que é ideal para séries com fatoriais.

Passo 2

Definimos o termo geral ak = 7^kk!. Para aplicar o teste da razão, precisamos calcular o limite L = limktoinfty l|ak+1akr|.

Passo 3

Calculando a razão entre termos consecutivos:
ak+1ak = 7^k+1/(k+1)!7^k/k! = 7k+1
Portanto,
L = limktoinfty 7k+1 = 0
Como L<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente (e, consequentemente, converge).
Além disso, reconhecemos que esta série é a expansão da função exponencial em x=7:
sumk=0^infty 7^kk! = e^7

Resposta

A série converge (convergência absoluta pelo teste da razão) e soma-se a e^7.

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