Seja f(x, y, z)=g(e^x y z, x^2 y^2 z^2). Determine o valor da constante beta, sabendo-se que
beta x partial fpartial x=y partial fpartial y+z partial fpartial z

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o valor da constante beta na função f(x, y, z) = g(e^x y z, x^2 y^2 z^2). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente derivadas parciais. Precisaremos calcular as derivadas parciais de f em relação a x, y e z, e então aplicar a equação dada para descobrir beta.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x, y e z. Usamos a regra da cadeia porque f é uma função composta de g.
  • Derivada parcial em relação a x ( partial fpartial x):
    partial fpartial x = partial gpartial u cdot partial upartial x + partial gpartial v cdot partial vpartial x
    onde u = e^xyz e v = x^2y^2z^2.
    Calculando as derivadas:
    partial upartial x = e^xyz cdot y z
    partial vpartial x = 2x y^2 z^2
    Então,
    partial fpartial x = gu cdot e^xyz y z + gv cdot 2x y^2 z^2
  • Derivada parcial em relação a y ( partial fpartial y):
    partial fpartial y = gu cdot e^xyz x z + gv cdot 2y x^2 z^2
  • Derivada parcial em relação a z ( partial fpartial z):
    partial fpartial z = gu cdot e^xyz x y + gv cdot 2z x^2 y^2

Passo 3

Agora, vamos substituir essas derivadas na equação fornecida:
beta x partial fpartial x = y partial fpartial y + z partial fpartial z
Substituindo:
beta x ( gu e^xyz y z + gv 2x y^2 z^2 ) = y ( gu e^xyz x z + gv 2x^2 y z^2 ) + z ( gu e^xyz x y + gv 2x^2 y^2 z )
Vamos simplificar cada lado da equação:
  • Lado esquerdo:
    beta gu e^xyz x y z + 2beta gv x^2 y^2 z^2
  • Lado direito:
    gu e^xyz x y z + 2gv x^2 y^2 z^2 + gu e^xyz x y z + 2gv x^2 y^2 z^2
    = 2gu e^xyz x y z + 4gv x^2 y^2 z^2

Passo 4

Agora, igualamos os dois lados da equação:
beta gu e^xyz x y z + 2beta gv x^2 y^2 z^2 = 2gu e^xyz x y z + 4gv x^2 y^2 z^2
Podemos dividir ambos os lados por gu e^xyz x y z e gv x^2 y^2 z^2 respectivamente (assumindo que não são zero), o que nos dá duas equações:
beta = 2
2beta = 4
Ambas as equações confirmam que beta = 2.

Resposta

O valor da constante beta é igual a 2.

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