Seja
. Determine o valor da constante
, sabendo-se que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o valor da constante
na função
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente derivadas parciais. Precisaremos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
, e então aplicar a equação dada para descobrir
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
. Usamos a regra da cadeia porque
é uma função composta de
.
-
Derivada parcial em relação a
( ): ondee . Calculando as derivadas:Então, -
Derivada parcial em relação a
( ): -
Derivada parcial em relação a
( ):
Passo 3
Agora, vamos substituir essas derivadas na equação fornecida:
Substituindo:
Vamos simplificar cada lado da equação:
-
Lado esquerdo:
-
Lado direito:
Passo 4
Agora, igualamos os dois lados da equação:
Podemos dividir ambos os lados por
e
respectivamente (assumindo que não são zero), o que nos dá duas equações:
Ambas as equações confirmam que
.
Resposta
O valor da constante
é igual a
.