Considere
.
Se
Se
Passo 1
A questão dá a função de duas variáveis
e as transformações
com os dados no ponto
:
Precisamos achar
$$f_u(0,1)\quade\quad h_v(0,1).
$$
Isso envolve derivadas parciais e regra da cadeia.
Passo 2
Agora calculamos as derivadas de
e
em relação a
e avaliamos no ponto:
logo
Em
temos
Também sabemos
Passo 3
Derivamos
em relação a
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora avaliamos em
:
Como
, temos
.
$$f_x(2,3)=\frac{1}{2}+\frac{2\cdot2}{2}=\frac12+2=\frac52,
$$
$$f_y(2,3)=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{4-3}{6}=\frac{1}{6}.
$$
Passo 5
Usamos a regra da cadeia para
:
Como
, temos
$$5+\frac{y_v}{6}=-4\implies y_v(0,1)=-54.
$$
Passo 6
Finalmente, aplicamos a regra da cadeia para
: