Considere f(x, y)=ln (x y^2)+arctg(x^2-y).
Se x=g(u, v)=u v+2 v, y=h(u, v), h(0,1)=3, partial hpartial u(0,1)=2 e
partial fpartial v(0,1)=-4, calcu<= partial fpartial u(0,1) e partial hpartial v(0,1)

Passo 1

A questão dá a função de duas variáveis
f(x,y)=lnl(xy^2r)+arctanl(x^2-yr)
e as transformações
x=g(u,v)=uv+2v, y=h(u,v),
com os dados no ponto (u,v)=(0,1):
  • h(0,1)=3
  • hu(0,1)=2e
  • fv(0,1)=-4
Precisamos achar
$$f_u(0,1)\quade\quad h_v(0,1).
$$
Isso envolve derivadas parciais e regra da cadeia.

Passo 2

Agora calculamos as derivadas de x e y em relação a u,v e avaliamos no ponto:
x=uv+2v=v(u+2),
logo
xu=v, xv=u+2
Em (0,1) temos
x(0,1)=2, xu(0,1)=1, xv(0,1)=2
Também sabemos
y(0,1)=3, yu(0,1)=2e

Passo 3

Derivamos f em relação a x,y:
Para fx:
fx=partialpartial xln(xy^2)+partialpartial xarctan(x^2-y) =1x+2x1+(x^2-y)^2
Para fy:
fy=partialpartial yln(xy^2)+partialpartial yarctan(x^2-y) =2y-11+(x^2-y)^2

Passo 4

Agora avaliamos em x=2, y=3:
Como x^2-y=4-3=1, temos 1+(x^2-y)^2=2.
$$f_x(2,3)=\frac{1}{2}+\frac{2\cdot2}{2}=\frac12+2=\frac52,
$$
$$f_y(2,3)=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{4-3}{6}=\frac{1}{6}.
$$

Passo 5

Usamos a regra da cadeia para fv:
fv=fx,xv+fy,yv =52cdot2+16yv =5+yv6
Como fv(0,1)=-4, temos
$$5+\frac{y_v}{6}=-4\implies y_v(0,1)=-54.
$$

Passo 6

Finalmente, aplicamos a regra da cadeia para fu:
fu=fx,xu+fy,yu =52cdot1+16cdot(2e) =52+2e6 =52+e3

Resposta

fu(0,1)=tfrac52+tfrace3, hv(0,1)=-54

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