Se z é uma função de x e y definida implicitamente pela equação y+x^(z-1)+y^2 z=1, calcule partial zpartial x(2,0) e partial zpartial y(2,0).

Passo 1

Temos uma função definida implicitamente por y + x^{(z-1)} + y^{2}z = 1. O que precisamos é aplicar derivação implícita para achar partial zpartial x e partial zpartial y no ponto (2,0).

Passo 2

Definimos a função auxiliar F(x,y,z)=y + x^(z-1) + y^2z -1, de modo que F(x,y,z(x,y))=0. Pela teoria de derivação implícita temos: partial zpartial x = -FxFz, partial zpartial y = -FyFz

Passo 3

Para avaliar essas derivadas no ponto, primeiro encontramos z(2,0). Substituindo x=2 e y=0 em y + 2^(z-1) + 0 =1 2^(z-1)=1, logo z-1=0 e z(2,0)=1.

Passo 4

Calculamos agora as derivadas parciais de F:
F_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{(z-1)}\bigr) = (z-1)x^{(z-2)},
F_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y + y^2 z\bigr) = 1 + 2yz,
F_z = \frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^{(z-1)} + y^2 z\bigr) = x^{(z-1)}\ln x + y^2.

Passo 5

Avaliando em (x,y,z)=(2,0,1):
F_x(2,0,1) = (1-1)2^{(1-2)} = 0,
F_y(2,0,1) = 1 + 0 = 1,
F_z(2,0,1) = 2^{0}\ln 2 + 0 = \ln 2.
Portanto
partial zpartial x(2,0) = -0ln 2 = 0,
partial zpartial y(2,0) = -1ln 2 = -1ln 2

Resposta

partial zpartial x(2,0)=0 e partial zpartial y(2,0)=-tfrac1ln 2

Exercícios relacionados