Se
é uma função de
e
definida implicitamente pela equação
, calcule
e
.
Passo 1
Temos uma função definida implicitamente por y + x^{(z-1)} + y^{2}z = 1. O que precisamos é aplicar derivação implícita para achar
e
no ponto
.
Passo 2
Definimos a função auxiliar
, de modo que
. Pela teoria de derivação implícita temos:
Passo 3
Para avaliar essas derivadas no ponto, primeiro encontramos
. Substituindo
e
em
dá
, logo
e
.
Passo 4
Calculamos agora as derivadas parciais de
:
F_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{(z-1)}\bigr) = (z-1)x^{(z-2)},
F_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y + y^2 z\bigr) = 1 + 2yz,
F_z = \frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^{(z-1)} + y^2 z\bigr) = x^{(z-1)}\ln x + y^2.
F_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{(z-1)}\bigr) = (z-1)x^{(z-2)},
F_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y + y^2 z\bigr) = 1 + 2yz,
F_z = \frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^{(z-1)} + y^2 z\bigr) = x^{(z-1)}\ln x + y^2.
Passo 5
Avaliando em
:
F_x(2,0,1) = (1-1)2^{(1-2)} = 0,
F_y(2,0,1) = 1 + 0 = 1,
F_z(2,0,1) = 2^{0}\ln 2 + 0 = \ln 2.
Portanto
F_x(2,0,1) = (1-1)2^{(1-2)} = 0,
F_y(2,0,1) = 1 + 0 = 1,
F_z(2,0,1) = 2^{0}\ln 2 + 0 = \ln 2.
Portanto