25 O campo elétrico a 2 cm do centro de uma longa barra de cobre de raio 1 cm tem uma magnitude de 3 N / C e é direcionado para fora a partir do eixo da barra. (a) Quanta carga por unidade de comprimento existe na barra de cobre? (b) Qual seria o fluxo elétrico através de um cubo de lado 5 cm situado de forma que a barra passe perpendicularmente por lados opostos do cubo?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma barra longa de cobre (raio 1 cm) e, a 2 cm do eixo, o campo elétrico é E=3 N/C, apontando radialmente pra fora.
Conteúdo: vamos usar a Lei de Gauss pra simetria cilíndrica e depois calcular o fluxo elétrico numa superfície fechada (o cubo).
O que precisamos:
  1. Entender Lei de Gauss e superfície gaussiana cilíndrica.
  2. Calcular a carga por unidade de comprimento lambda.
  3. Usar Phi = Qint/varepsilon0 para o cubo.

Passo 2

Teoria da Lei de Gauss (simetria cilíndrica):
Como a barra é longa e o campo só depende da distância radial r, escolhemos um cilindro imaginário de raio r e comprimento L.
A Lei de Gauss diz:
oint Ecdot dA ;=;Qintvarepsilon0,
No nosso caso, E é constante em cada ponto da superfície lateral do cilindro e perpendicular a ela. As tampas não contribuem (campo paralelo). Então:
E,(2pi rL);=;Qintvarepsilon0,
Como Qint=lambda,L (carga por comprimento vezes L), a gente isol a densidade linear:
lambda ;=;E;2pi,varepsilon0,r,

Passo 3

Agora é só botar número:
E temos
E = 3 N/C
r = 2 cm = 0{,}02 m
ε₀ ≈ 8{,}85×10⁻¹² C²/(N·m²)
Logo
lambda = 3;times2pi;times8,85times10^-12;times0,02 C/m,

Passo 4

Fazendo a conta:
2π ≃ 6,283
6,283 × 0,02 = 0,12566
0,12566 × 8,85×10⁻¹² ≃ 1,1137×10⁻¹²
×3 → λ ≃ 3,34×10⁻¹² C/m

Passo 5

Fluxo pelo cubo de lado a = 5 cm = 0,05 m, com a barra passando perpendicularmente por faces opostas:
– A superfície é fechada, então pela Lei de Gauss geral:
Phi = Qintvarepsilon0,
– A carga dentro do cubo é a parte da barra de comprimento L=0,05,m:
Qint=lambda,L,
Substituindo na fórmula do fluxo:
Phi = lambda,Lvarepsilon0,

Passo 6

Basta calcular:
λ ≃ 3,34×10⁻¹² C/m
L = 0,05 m
ε₀ = 8,85×10⁻¹² C²/(N·m²)
Então
Phi = 3,34times10^-12times0,058,85times10^-12 Ncdot m^2/C simeq 1,89times10^-2 Ncdot m^2/C,

Resposta

(a) lambda simeq 3,34times10^-12 C/m
(b) Phi simeq 1,89times10^-2 Ncdot m^2/C

Exercícios relacionados