25 O campo elétrico a 2 cm do centro de uma longa barra de cobre de raio 1 cm tem uma magnitude de
e é direcionado para fora a partir do eixo da barra. (a) Quanta carga por unidade de comprimento existe na barra de cobre? (b) Qual seria o fluxo elétrico através de um cubo de lado 5 cm situado de forma que a barra passe perpendicularmente por lados opostos do cubo?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma barra longa de cobre (raio 1 cm) e, a 2 cm do eixo, o campo elétrico é
, apontando radialmente pra fora.
Conteúdo: vamos usar a Lei de Gauss pra simetria cilíndrica e depois calcular o fluxo elétrico numa superfície fechada (o cubo).
O que precisamos:
Conteúdo: vamos usar a Lei de Gauss pra simetria cilíndrica e depois calcular o fluxo elétrico numa superfície fechada (o cubo).
O que precisamos:
- Entender Lei de Gauss e superfície gaussiana cilíndrica.
- Calcular a carga por unidade de comprimento
. - Usar
para o cubo.
Passo 2
Teoria da Lei de Gauss (simetria cilíndrica):
Como a barra é longa e o campo só depende da distância radial , escolhemos um cilindro imaginário de raio
e comprimento
.
A Lei de Gauss diz:
Como a barra é longa e o campo só depende da distância radial
A Lei de Gauss diz:
No nosso caso,
Como
(carga por comprimento vezes
), a gente isol a densidade linear:
Passo 3
Agora é só botar número:
E temos
E = 3 N/C
r = 2 cm = 0{,}02 m
ε₀ ≈ 8{,}85×10⁻¹² C²/(N·m²)
Logo
E temos
E = 3 N/C
r = 2 cm = 0{,}02 m
ε₀ ≈ 8{,}85×10⁻¹² C²/(N·m²)
Logo
Passo 4
Fazendo a conta:
2π ≃ 6,283
6,283 × 0,02 = 0,12566
0,12566 × 8,85×10⁻¹² ≃ 1,1137×10⁻¹²
×3 → λ ≃ 3,34×10⁻¹² C/m
2π ≃ 6,283
6,283 × 0,02 = 0,12566
0,12566 × 8,85×10⁻¹² ≃ 1,1137×10⁻¹²
×3 → λ ≃ 3,34×10⁻¹² C/m
Passo 5
Fluxo pelo cubo de lado a = 5 cm = 0,05 m, com a barra passando perpendicularmente por faces opostas:
– A superfície é fechada, então pela Lei de Gauss geral:
– A superfície é fechada, então pela Lei de Gauss geral:
– A carga dentro do cubo é a parte da barra de comprimento
Substituindo na fórmula do fluxo:
Passo 6
Basta calcular:
λ ≃ 3,34×10⁻¹² C/m
L = 0,05 m
ε₀ = 8,85×10⁻¹² C²/(N·m²)
Então
λ ≃ 3,34×10⁻¹² C/m
L = 0,05 m
ε₀ = 8,85×10⁻¹² C²/(N·m²)
Então
Resposta
(a)
(b)
(b)