26 Uma longa casca cilíndrica de cobre de raio interno de 2 cm e raio externo de 3 cm envolve concentricamente uma longa barra de alumínio carregada de raio de 1 cm com uma densidade de carga de 4 pC / m. Todas as cargas na barra de alumínio residem em sua superfície. A superfície interna da casca de cobre tem carga exatamente oposta à da barra de alumínio, enquanto a superfície externa da casca de cobre tem a mesma carga que a barra de alumínio. Encontre a magnitude e a direção do campo elétrico em pontos que estão nas seguintes distâncias do centro da barra de alumínio: (a) 0,5 cm , (b) 1,5 cm, © 2,5 cm, (d) 3,5 cm e (e) 7 cm .

Passo 1

Resumo do enunciado:
Temos uma barra cilíndrica longa de alumínio de raio E(r),2pi r L ;=;Qrm encvarepsilon0 Longrightarrow E(r)=lambdarm enc2pivarepsilon0,r que carrega carga superficial com densidade linear . Em volta dela, concêntrica, há uma casca cilíndrica de cobre de raio interno e raio externo . Na superfície interna da casca (raio ) há carga por metro, e na superfície externa (raio ) há carga por metro.
Conteúdo da matéria: lei de Gauss em geometria cilíndrica e propriedades de condutores em equilíbrio eletrostático.
O que vamos precisar:
  1. Entender que dentro de um condutor em equilíbrio o campo é zero.
  2. Aplicar a lei de Gauss para cilindros concêntricos e obter

Passo 2

Teoria da lei de Gauss e simetria cilíndrica
  1. Lei de Gauss: E(r);2pi r L ;=;lambdarm encLvarepsilon0 Longrightarrow E(r)=lambdarm enc2pivarepsilon0,r .
  2. Como o sistema é infinito e simétrico, o campo aponta radialmente e tem mesma intensidade em qualquer ponto a uma distância do eixo.
  3. Escolhemos superfície gaussiana cilíndrica de raio e comprimento . A área lateral é .
  4. Logo, se a carga total por unidade de comprimento dentro de for ,
  5. Propriedade de condutor em equilíbrio: em qualquer ponto dentro do material condutor maciço.

Passo 3

Região (a): (dentro da barra de alumínio)
  • A carga da barra está só na superfície , então para o total .
  • Aplica Gauss: .
    Resposta: .

Passo 4

Região (b): E(r)=lambda2pivarepsilon0,r =4times10^-122pi,(8,85times10^-12),(0,015);V/m (entre a superfície da barra e a face interna da casca de cobre)
  • Agora a gaussiana engloba toda a carga 2pivarepsilon0approx5,56times10^-11, Eapprox4times10^-125,56times10^-11times0,015 approx4,8;V/m da barra. Não engloba ainda a casca interna.
  • Logo .
  • Pela lei de Gauss:
  • Calculando:
  • Direção: radial para fora (porque carga positiva).

Passo 5

Região ©: (dentro do cobre, entre raio interno e externo)
  • Dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo é nulo.
    Resposta: .

Passo 6

Regiões (d) e (e):
Para E(r)=lambda2pivarepsilon0,r (ou seja, Eapprox4times10^-125,56times10^-11times0,035 approx2,1;V/m(para fora) e Eapprox4times10^-125,56times10^-11times0,07 approx1,0;V/m(para fora) ) a gaussiana engloba:
  • carga da barra ,
  • carga interna da casca e externa .
    Somando: .
    Logo, de novo
(d) Para :
(e) Para :

Resposta

(a) .
(b) , radial para fora.
© .
(d) , radial para fora.
(e) , radial para fora.

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