26 Uma longa casca cilíndrica de cobre de raio interno de 2 cm e raio externo de 3 cm envolve concentricamente uma longa barra de alumínio carregada de raio de 1 cm com uma densidade de carga de
. Todas as cargas na barra de alumínio residem em sua superfície. A superfície interna da casca de cobre tem carga exatamente oposta à da barra de alumínio, enquanto a superfície externa da casca de cobre tem a mesma carga que a barra de alumínio. Encontre a magnitude e a direção do campo elétrico em pontos que estão nas seguintes distâncias do centro da barra de alumínio: (a) 0,5 cm , (b)
, ©
, (d)
e (e) 7 cm .
Passo 1
Resumo do enunciado:
Temos uma barra cilíndrica longa de alumínio de raio que carrega carga superficial com densidade linear
. Em volta dela, concêntrica, há uma casca cilíndrica de cobre de raio interno
e raio externo
. Na superfície interna da casca (raio
) há carga
por metro, e na superfície externa (raio
) há carga
por metro.
Conteúdo da matéria: lei de Gauss em geometria cilíndrica e propriedades de condutores em equilíbrio eletrostático.
O que vamos precisar:
Temos uma barra cilíndrica longa de alumínio de raio
Conteúdo da matéria: lei de Gauss em geometria cilíndrica e propriedades de condutores em equilíbrio eletrostático.
O que vamos precisar:
- Entender que dentro de um condutor em equilíbrio o campo é zero.
- Aplicar a lei de Gauss para cilindros concêntricos e obter
Passo 2
Teoria da lei de Gauss e simetria cilíndrica
- Lei de Gauss:
. - Como o sistema é infinito e simétrico, o campo
aponta radialmente e tem mesma intensidade em qualquer ponto a uma distância do eixo. - Escolhemos superfície gaussiana cilíndrica de raio
e comprimento . A área lateral é . - Logo, se a carga total por unidade de comprimento dentro de
for , - Propriedade de condutor em equilíbrio:
em qualquer ponto dentro do material condutor maciço.
Passo 3
Região (a):
(dentro da barra de alumínio)
- A carga da barra está só na superfície
, então para o total . - Aplica Gauss:
.
Resposta:.
Passo 4
Região (b):
(entre a superfície da barra e a face interna da casca de cobre)
- Agora a gaussiana engloba toda a carga
da barra. Não engloba ainda a casca interna. - Logo
. - Pela lei de Gauss:
- Calculando:
- Direção: radial para fora (porque carga positiva).
Passo 5
Região ©:
(dentro do cobre, entre raio interno e externo)
- Dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo é nulo.
Resposta:.
Passo 6
Regiões (d) e (e):
Para (ou seja,
e
) a gaussiana engloba:
Para
- carga da barra
, - carga interna da casca
e externa .
Somando:.
Logo, de novo
(d) Para
:
(e) Para
:
Resposta
(a)
.
(b) , radial para fora.
© .
(d) , radial para fora.
(e) , radial para fora.
(b)
©
(d)
(e)