25^circ ) Determine os pontos críticos de cada função:
a) z=x^3-y^2-12 x+4 y+2
b) z=x^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede para determinar os pontos críticos de duas funções de duas variáveis, isto é, os pontos (x,y) onde o gradiente de z=f(x,y) se anula. O conteúdo usado é o de derivadas parciais e sistema de equações nabla f=(0,0).

Passo 2

Para a função z=x^3-y^2-12x+4y+2, calculamos as derivadas parciais:
partial zpartial x=3x^2-12,
partial zpartial y=-2y+4
Pontos críticos ocorrem quando ambas são zero.

Passo 3

Resolvendo
3x^2-12=0Longrightarrow x^2=4Longrightarrow x=pm2,
-2y+4=0Longrightarrow y=2
Logo os pontos críticos da parte (a) são (2,2) e (-2,2).

Passo 4

Para a função z=x^2-y^2, as derivadas parciais são:
partial zpartial x=2x,
partial zpartial y=-2y
Igualando a zero, obtemos o sistema para os pontos críticos.

Passo 5

Resolvendo
2x=0Longrightarrow x=0,
-2y=0Longrightarrow y=0
Portanto há um único ponto crítico na parte (b), que é (0,0).

Resposta

a) Os pontos críticos são (2,2) e (-2,2).
b) O ponto crítico é (0,0).

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