Esboce o gráfico da função , determine e, caso exista, :
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x)= x^2+1, & x<2, 2, & x=2, 9 - x^2, & x>2,
e pede (i) o esboço do gráfico, (ii) limxto2^-f(x), (iii) limxto2^+f(x) e (iv) limxto2f(x), se existir. O conteúdo é análise de limites e desenho de função definida por partes.
Passo 2
Para esboçar o gráfico:
Para x<2, desenhe a parábola crescente y=x^2+1. Em x=2 ela atinge o valor 2^2+1=5, mas como o ramo vale só para x<2, marque um círculo aberto em (2,5).
Em x=2, coloque um ponto cheio em (2,2), pois f(2)=2.
Para x>2, desenhe a parábola decrescente y=9 - x^2. Em x=2 ela também toma valor 9-2^2=5, mas é usada só para x>2, então há outro círculo aberto em (2,5).
Assim temos dois ramos parabólicos unidos por um ponto isolado em (2,2).
Passo 3
Calculando o limite pela esquerda:
limxto2^-f(x) =limxto2^-(x^2+1) =2^2+1 =5
Passo 4
Calculando o limite pela direita:
limxto2^+f(x) =limxto2^+(9 - x^2) =9 - 2^2 =5
Passo 5
Como limxto2^-f(x)=5 e limxto2^+f(x)=5, o limite de f em x=2 existe e vale