Esboce o gráfico da função f, determine lim x a^- f(x), lim x a^+ f(x) e, caso exista, lim x a f(x) :
f(x)=cx^2+1, x<2 2, x=2 9-x^2, x>2, a=2

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= x^2+1, & x<2, 2, & x=2, 9 - x^2, & x>2,
e pede (i) o esboço do gráfico, (ii) limxto2^-f(x), (iii) limxto2^+f(x) e (iv) limxto2f(x), se existir. O conteúdo é análise de limites e desenho de função definida por partes.

Passo 2

Para esboçar o gráfico:
  1. Para x<2, desenhe a parábola crescente y=x^2+1. Em x=2 ela atinge o valor 2^2+1=5, mas como o ramo vale só para x<2, marque um círculo aberto em (2,5).
  2. Em x=2, coloque um ponto cheio em (2,2), pois f(2)=2.
  3. Para x>2, desenhe a parábola decrescente y=9 - x^2. Em x=2 ela também toma valor 9-2^2=5, mas é usada só para x>2, então há outro círculo aberto em (2,5).
Assim temos dois ramos parabólicos unidos por um ponto isolado em (2,2).

Passo 3

Calculando o limite pela esquerda:
limxto2^-f(x) =limxto2^-(x^2+1) =2^2+1 =5

Passo 4

Calculando o limite pela direita:
limxto2^+f(x) =limxto2^+(9 - x^2) =9 - 2^2 =5

Passo 5

Como limxto2^-f(x)=5 e limxto2^+f(x)=5, o limite de f em x=2 existe e vale
limxto2f(x)=5

Resposta

limxto2^-f(x)=5,
limxto2^+f(x)=5 e
limxto2f(x)=5.

Exercícios relacionados