Encontre a transformada de Fourier da função ímpar de período 2 dada por y(t)=1

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier de uma função periódica ímpar de período T=2, definida por
y(t)=1no intervalo fundamental,(-1,1)
com extensão ímpar e y(t+2)=y(t).
Para resolver, vamos (1) obter a série de Fourier dessa função, que por simetria ímpar terá apenas termos em senos, e em seguida (2) usar que a transformada de Fourier de uma função periódica é um trem de impulsos ponderados pelos coeficientes complexos da série.

Passo 2

O coeficiente de série de Fourier para senos é
bn = 2Tintegral-1^1 y(t),sinl(nomega0 tr),dt,
onde omega0 = 2piT = pi. Como y(t) é ímpar e sin(npi t) também é ímpar, o produto é par, e
bn = 22,2integral0^11cdotsin(npi t),dt = integral0^1sin(npi t),dt = 1-(-1)^nnpi
Logo bn=0 para n par e, para n ímpar,
bn = 2npi
Porém como duplicamos a integral de 0 a 1, na verdade
bn=4npi(n ímpar) í

Passo 3

Portanto a expansão em série de Fourier fica

Passo 4

Sabendo que
Fsin(npi t) = pij,l[de<a(omega + npi)-de<a(omega - npi)r],
a transformada de cada termo tfrac4npisin(npi t) é
4npi,pij,l[de<a(omega + npi)-de<a(omega - npi)r] =4j,n,l[de<a(omega + npi)-de<a(omega - npi)r]

Passo 5

Somando sobre todos os n ímpares n=2k+1, k=0,1,2,dots, obtemos
Y(omega) =sumk=0^infty4j,(2k+1), l[de<al(omega+(2k+1)pir)-de<al(omega-(2k+1)pir)r]

Resposta

Y(omega) =sumk=0^infty4j,(2k+1) l[de<al(omega+(2k+1)pir) -de<al(omega-(2k+1)pir)r]

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