Encontre a transformada de Fourier da função ímpar de período 2 dada por
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Fourier de uma função periódica ímpar de período
, definida por
com extensão ímpar e
.
Para resolver, vamos (1) obter a série de Fourier dessa função, que por simetria ímpar terá apenas termos em senos, e em seguida (2) usar que a transformada de Fourier de uma função periódica é um trem de impulsos ponderados pelos coeficientes complexos da série.
Para resolver, vamos (1) obter a série de Fourier dessa função, que por simetria ímpar terá apenas termos em senos, e em seguida (2) usar que a transformada de Fourier de uma função periódica é um trem de impulsos ponderados pelos coeficientes complexos da série.
Passo 2
O coeficiente de série de Fourier para senos é
onde
. Como
é ímpar e
também é ímpar, o produto é par, e
Logo
para
par e, para
ímpar,
Porém como duplicamos a integral de
a
, na verdade
Passo 3
Portanto a expansão em série de Fourier fica
Passo 4
Sabendo que
a transformada de cada termo
é
Passo 5
Somando sobre todos os
ímpares
,
, obtemos