Ar a 25^circ C escoa sobre uma esfera, com 10 mm de diâmetro, com uma velocidade de 15 m / s, enquanto a superfície da esfera é mantida a 75^circ C.
(a) Qual é a força de arrasto na esfera?
(b) Qual é a taxa de transferência de calor saindo da esfera?
© Gere um gráfico da taxa de transferência de calor saindo da esfera em função da velocidade do ar para o intervalo de 1 a 25 m / s.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem uma esfera de diâmetro D = 10 mm imersa em ar a T∞ = 25 °C, com velocidade V = 15 m/s, e a superfície da esfera está a Ts = 75 °C.
Conteúdo: mecânica dos fluidos (força de arrasto em esfera) e transferência de calor por convecção forçada.
O que vamos precisar:
• Propriedades do ar a uma temperatura‐filme Tfilm = (25+75)/2 = 50 °C: densidade ρ, viscosidade μ, difusividade térmica ν, número de Prandtl Pr, condutividade k.
• Cálculo do número de Reynolds Re e coeficiente de arrasto Cd.
• Correlação de Nusselt para esfera (Ranz–Marshall) para achar o coeficiente de convecção h.
• Fórmulas de força de arrasto Fd e taxa de calor Q.

Passo 2

Calcular a força de arrasto Fd
  1. Primeiro, número de Reynolds:
Re = rho,V,Dmu
– Em Tfilm=50 °C: ρ≈1{,}093 kg/m³, μ≈2{,}10×10⁻⁵ Pa·s.
– D=0,01 m, V=15 m/s →
Re = 1,093cdot15cdot0,012,10times10^-5 approx7,8times10^3
  1. Coeficiente de arrasto Cd para esfera em Re≈10³–10⁵ vale aproximadamente Cd≈0{,}47 (tabela/correl. padrão).
  2. Área de seção A = πD²/4 = π(0,01)²/4 ≈7,85×10⁻⁵ m².
  3. Força de arrasto:
Fd = tfrac12,rho,V^2,A,Cd
Substituindo:
Fd = 0,5cdot1,093cdot15^2cdot7,85times10^-5cdot0,47 approx4,5times10^-3,N

Passo 3

Calcular a taxa de calor Q saindo da esfera
  1. Correlação de Nusselt (Ranz–Marshall) para esfera:
Nu = 2 + 0,6,Re^1/2,Pr^1/3
Em Tfilm=50 °C, Pr≈0{,}707. Então:
Re^1/2approx88,3, Pr^1/3approx0,887 ;Longrightarrow; Nuapprox2 + 0,6cdot88,3cdot0,887 approx48,9
  1. Coeficiente de convecção h:
h = Nu,kD,
com k≈0{,}0283 W/m·K →
h = 48,9cdot0,02830,01 approx138,6;W/m²K ²
  1. Taxa de calor por convecção:
Q = h,A,(Ts - Tinfty) =138,6cdot7,85times10^-5cdot(75-25) approx0,54;W

Passo 4

Gráfico de Q versus V de 1 até 25 m/s
A gente usa a expressão geral
Q(V) = A,(Ts-Tinfty), kDl[2 + 0,6,(Re(V))^1/2Pr^1/3r], Re(V)=rho,V,Dmu
Em Python/matplotlib, por exemplo, fica fácil gerar:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# dados constantes
D=0.01; rho=1.093; mu=2.10e-5
k=0.0283; Pr=0.707
A=np.pi*D**2/4
dT=75-25

V = np.linspace(1,25,100)
Re = rho*V*D/mu
Nu = 2 + 0.6*np.sqrt(Re)*Pr**(1/3)
h = Nu*k/D
Q = h*A*dT

plt.plot(V,Q)
plt.xlabel('V (m/s)')
plt.ylabel('Q (W)')
plt.title('Taxa de calor vs. Velocidade do ar')
plt.grid(True)
plt.show()

Resposta

(a) Fd ≈ 4,5×10⁻³ N
(b) Q ≈ 0,54 W
© Gráfico de Q(V) gerado pelo script acima.

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