1. Óleo de motor escoa através de um tubo de 25 mm de diâmetro a uma vazão de 0,5 kg / s. O óleo entra no tubo a uma temperatura de 25^circ C, enquanto a temperatura da superfície do tubo é mantida a 100^circ C.
    (a) Determine a temperatura do óleo na saída para tubos com comprimentos de 5 m e 100 m . Para cada caso, compare a média logarítmica das diferenças de temperaturas com a média aritmética das diferenças de temperaturas.
    (b) Para 5 <= L <= 100 m, calcule e represente graficamente o número de Nusselt médio e a temperatura de saída do óleo como uma função de L.

Passo 1

Beleza, o exercício diz que óleo de motor escoa num tubo de diâmetro D=25 mm, vazão mássica ṁ=0,5 kg/s. A temperatura de entrada do óleo é T_in=25 °C e a parede do tubo fica a T_s=100 °C.
Conteúdo: transferência de calor por convecção interna com parede a temperatura constante, análise de LMTD (diferença logarítmica média) versus diferença aritmética média, e correlação de Nusselt.
O que vamos precisar:
  • Fazer balanço de energia para achar T_out em função do comprimento L;
  • Calcular o coeficiente de transferência de calor h usando Nu para escoamento completamente desenvolvido (laminar ou turbulento);
  • Calcular ΔT_aritm e ΔT_lm;
  • Repetir para L=5 m e L=100 m;
  • Depois variar L de 5 a 100 m e plotar Nu e T_out(L).

Passo 2

Teoria do coeficiente de convecção interna:
  1. Pra escoamento totalmente desenvolvido e parede a temperatura constante, se for laminar, usa-se Nu=3,66 (valor clássico).
  2. Então
    ,
    onde k é a condutividade térmica do óleo.
    Assumo propriedades típicas do óleo (constantes):
    ρ=850 kg/m³,
    c_p=2000 J/(kg·K),
    k=0,13 W/(m·K).

Passo 3

Balanço de energia no fluido (estado estacionário, sem geração interna):
.
Por convecção em área interna A_s=πD L, com parede a T_s constante:
,
onde T_m é a temperatura média do fluido ao longo do tubo.
Mas existe solução analítica:

Passo 4

Calcular h:
Nu=3,66 ⇒
Agora defino o parâmetro:
.
Numericamente:

Passo 5

Caso L=5 m:
expoente = –C·L = –0,001493·5 = –0,007465

Logo
Para comparar as médias de diferença de temperatura:
ΔT_1 = T_s – T_in = 100–25 = 75 K
ΔT_2 = T_s – T_out,5 = 100–25,56 = 74,44 K
Diferença aritmética média:
Diferença logarítmica média:

Passo 6

Caso L=100 m:
expoente = –0,001493·100 = –0,1493

ΔT_1=75 K, ΔT_2=100–35,41=64,59 K
ΔT aritmética:
ΔT logarítmica:

Passo 7

Parte (b): Para 5≤L≤100 m,
  1. Nu fica constante (3,66), pois mantivemos regime laminar totalmente desenvolvido.
  2. T_out(L)=100 –75·exp(–0,001493·L).
    Gráficos:
  • Nu_médio vs L → reta horizontal em Nu=3,66.
  • T_out(L) decaindo exponencialmente de 25,56 °C (em L=5) até 35,41 °C (em L=100), pela equação acima.

Resposta

(a) Para L=5 m:
T_out≈25,56 °C;
ΔT_aritm≈74,72 K, ΔT_lm≈74,83 K.
Para L=100 m:
T_out≈35,41 °C;
ΔT_aritm≈69,80 K, ΔT_lm≈69,82 K.
(b) Nu médio≈3,66 (constante);
T_out(L)=100 –75·exp(–0,001493·L) (funcão decrescente de L).

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