A 25^{\circ} \mathrm{C} e 101 kPa misturam-se 100 g de uma solução com 45 \% (em massa) de etilenoglicol (EG) e 55% de água com 200 g de furfural puro. Determine:
a) As massas e as composições das fases de refinado e de extrato resultantes da mistura.
b) O percentual de remoção de EG da mistura.
c) As quantidades mínima e máxima de furfural para extração de EG.
d) A composição máxima de EG na mistura inicial que torne possível a extração.
e) As composições das fases de refinado e de extrato em base livre de furfural.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo bem direitinho):
  • Dados numéricos iniciais:
    • Massa da solução inicial de etilenoglicol (EG) + água: 100\\ \text{g}.
    • Composição dessa solução: 45\% em massa de EG e 55\% em massa de água. Ou seja: m_{\mathrm{EG},0}=100\cdot0{,}45=45\\ \text{g}, \qquad m_{\mathrm{H_2O},0}=100\cdot0{,}55=55\\ \text{g}.
    • Massa de furfural adicionada (puro): 200\\ \text{g}. Ou seja: m_{F,0}=200\\ \text{g}.
    • Temperatura e pressão: 25^\circ\text{C} e 101\\ \text{kPa} (condições onde ocorre equilíbrio líquido–líquido).
  • Total inicial:
    m_{\mathrm{tot}}=45+55+200=300\\ \text{g}.
  • O que o enunciado pede:
    (a) As massas e as composições das fases de refinado (fase rica em água, vou chamar de fase R) e de extrato (fase rica em furfural, vou chamar de fase E) resultantes da mistura.
    (b) O percentual de remoção de EG da mistura (i.e., fração do EG inicial que termina na fase extrato, em %).
    (c) As quantidades mínima e máxima de furfural para que ocorra a extração de EG (interpreto como os extremos de massa de solvente que ainda permitem a extração em uma única etapa ou a existência de duas fases).
    (d) A composição máxima de EG na mistura inicial que torne possível a extração (i.e., limite de composição total além do qual, para a massa de solvente dada, não se tem separação em duas fases que permita extração).
    (e) As composições das fases de refinado e de extrato em base livre de furfural (ou seja, frações relativas EG/água em cada fase excluindo furfural).
Observação: para resolver numericamente os itens (a)–(e) é necessário conhecer as composições de equilíbrio (as composições das duas fases na temperatura dada) — isto é, os pontos da tie-line do diagrama ternário água–EG–furfural ou, equivalentemente, as frações em massa de EG, água e furfural em cada fase na condição de equilíbrio. Esses dados NÃO foram fornecidos no enunciado. A seguir apresento a teoria, o procedimento passo a passo e as fórmulas que se devem aplicar; ao final explico por que não é possível dar números finais sem os dados de equilíbrio.

Passo 2

Conceitos físicos e nomes (bem didático e direto):
  • Em extração líquido–líquido com solvente imiscível parcial, ao misturar a solução aquosa com o solvente orgânico (furfural) pode ocorrer separação em duas fases:
    • fase R (raffinate, refinado): fase rica em água e pobre em furfural;
    • fase E (extract, extrato): fase rica em furfural e geralmente contém parte do soluto que se quer extrair (aqui o EG).
  • Em equilíbrio, as composições de cada fase são fixadas pela termodinâmica e são representadas por uma tie-line no diagrama ternário. Essas composições são, para cada fase k\in\{R,E\}: \text{frações em massa: } x_{\mathrm{EG}}^{k},\quad x_{W}^{k},\quad x_{F}^{k}, \quad\text{com}\quad x_{\mathrm{EG}}^{k}+x_{W}^{k}+x_{F}^{k}=1.çõ
  • A massa de cada fase depende da composição global (média) e das composições de equilíbrio; a distribuição do soluto é determinada por essas composições de equilíbrio.

Passo 3

Variáveis e equações de balanço (configuração matemática do problema)
Defino incógnitas que queremos determinar:
m_R,\\ m_E\quad(\text{massas das fases refinado e extrato}),
e as composições de equilíbrio (se não conhecidas a priori):
x_{\mathrm{EG}}^{R},\\ x_{W}^{R},\\ x_{F}^{R},\qquad x_{\mathrm{EG}}^{E},\\ x_{W}^{E},\\ x_{F}^{E}.
As equações de conservação de massa são:
  1. Balanço de massa total:
m_R + m_E = m_{\mathrm{tot}} = 300\\ \text{g}.
  1. Balanço do componente EG:
m_R x_{\mathrm{EG}}^{R} + m_E x_{\mathrm{EG}}^{E} = m_{\mathrm{EG},0} = 45\\ \text{g}.
  1. Balanço do componente água:
m_R x_{W}^{R} + m_E x_{W}^{E} = m_{W,0} = 55\\ \text{g}.
  1. Balanço do componente furfural:
m_R x_{F}^{R} + m_E x_{F}^{E} = m_{F,0} = 200\\ \text{g}.
  1. Para cada fase k vale:
x_{\mathrm{EG}}^{k}+x_{W}^{k}+x_{F}^{k}=1.
Observação importante: as seis variáveis de composição (três em cada fase) não são independentes; em equilíbrio de duas fases num sistema ternário a tie-line fornece dois vetores de composição conhecidos (se o diagrama for conhecido): isto é, os três números x de cada fase são dados pela termodinâmica. Assim, na prática, as incógnitas que se resolvem com os balanços são apenas as massas m_R e m_E (duas incógnitas), usando as composições de equilíbrio conhecidas. Se as composições de equilíbrio não são conhecidas, não há como resolver numericamente.

Passo 4

Como resolver numérico assim que as composições de equilíbrio forem conhecidas (fórmulas úteis e demonstração passo a passo)
Suponha que o diagrama ternário ou os dados experimentais nos dão as composições de equilíbrio:
x_{\mathrm{EG}}^{R},\\ x_{W}^{R},\\ x_{F}^{R}\quad\text{e}\quad x_{\mathrm{EG}}^{E},\\ x_{W}^{E},\\ x_{F}^{E}.
  • Primeiro, converta as massas iniciais em frações em massa globais (composição global):
x_{\mathrm{EG}}^{0}=\frac{m_{\mathrm{EG},0}}{m_{\mathrm{tot}}}=\frac{45}{300}=0{,}15, \quad x_{W}^{0}=\frac{55}{300}\approx0{,}18333, \quad x_{F}^{0}=\frac{200}{300}=0{,}66667.
  • A partir do balanço de um componente i (por exemplo EG) e usando m_R=m_{\mathrm{tot}}-m_E obtemos (dedução passo a passo):
    (m_{\mathrm{tot}}-m_E) x_i^{R} + m_E x_i^{E} = m_{\mathrm{tot}} x_i^{0}.
    Isolando m_E:
    m_E (x_i^{E}-x_i^{R}) = m_{\mathrm{tot}} (x_i^{0}-x_i^{R})
    portanto
    m_E = m_{\mathrm{tot}}\cdot\frac{x_i^{0}-x_i^{R}}{x_i^{E}-x_i^{R}}.
    Essa expressão é a forma do “lever rule” para composição em massa, aplicada a qualquer componente i. Ela deve dar o mesmo m_E independentemente do componente escolhido (EG, água ou furfural) se os x^k_i forem consistentes (checagem de coerência).
  • Depois, m_R obtém-se por:
    m_R = m_{\mathrm{tot}} - m_E.
  • As massas de EG em cada fase são:
    m_{\mathrm{EG}}^{E} = m_E x_{\mathrm{EG}}^{E},\qquad m_{\mathrm{EG}}^{R} = m_R x_{\mathrm{EG}}^{R},
    e naturalmente m_{\mathrm{EG}}^{E}+m_{\mathrm{EG}}^{R}=45\\ \text{g}.
  • Percentual de remoção de EG (item b): a definição usual é a fração do EG inicial que ficou no extrato (fase E):
    \%\\ \text{remoção} = 100\cdot\frac{m_{\mathrm{EG}}^{E}}{m_{\mathrm{EG},0}} =100\cdot\frac{m_E\,x_{\mathrm{EG}}^{E}}{45}.çã
    (Se o problema quer a fração removida do refinado, basta usar 1- esse valor.)

Passo 5

Como determinar (c) quantidades mínima e máxima de furfural e (d) composição máxima de EG que permita extração — método conceptual
Essas partes exigem raciocínio com o diagrama ternário (binodal):
  • (c) Quantidade mínima de solvente (furfural) para extrair EG numa única etapa:
    • A massa mínima de solvente necessária para atingir uma certa composição alvo do raffinate (por exemplo quase sem EG) é encontrada traçando no diagrama ternário a linha que liga a composição global desejada ao ponto de tie-line que corresponde à fase rica em água; a intersecção determina a massa relativa. Em termos operacionais, para obter o mínimo de solvente que permita uma extração com certa recuperação, costuma-se usar a condição de que a composição global fique sobre a binodal (caso limite). Sem o diagrama ternário não é possível dar valores numéricos.
  • Quantidade máxima de solvente:
    • Existe um limite superior de adição de solvente acima do qual a mistura torna-se monofásica (isto é, perde-se a separação líquido–líquido) — esse limite corresponde a composições globais que caem dentro da região de uma fase do diagrama. O máximo de solvente que ainda permite duas fases é o que posiciona a composição global exatamente no limite da binodal no lado do solvente. Precisa do diagrama para achar numericamente.
  • (d) Composição máxima de EG na mistura inicial que permita extração:
    • Para uma dada massa de solvente, a composição máxima de EG que ainda resulta em duas fases (ou que permite alcançar uma certa remoção) é obtida encontrando a intersecção entre a reta de massas (entre os pontos de alimentação e zero solvente) e a curva binodal. Novamente, dados do diagrama são essenciais.
Em resumo: as perguntas (c) e (d) requerem o diagrama ternário (a binodal) ou valores experimentais de solubilidade — sem esses dados não se consegue dar números.

Passo 6

Parte (e): composições das fases em base livre de furfural — fórmula direta
Se as composições de equilíbrio x_{\mathrm{EG}}^{k} e x_{W}^{k} forem conhecidas, a composição em base sem furfural (ou seja, re-normalizar EG e água removendo a fração de furfural) para cada fase k é:
  • fração em massa de EG na base (EG+água) da fase k:
y_{\mathrm{EG}}^{k} = \frac{x_{\mathrm{EG}}^{k}}{x_{\mathrm{EG}}^{k}+x_{W}^{k}}.
  • fração de água nessa base:
y_{W}^{k} = \frac{x_{W}^{k}}{x_{\mathrm{EG}}^{k}+x_{W}^{k}}.
Essas fórmulas simplesmente removem o componente furfural e reescalam as duas frações restantes para somarem 1. Assim, uma vez conhecidos os x em cada fase, calcula-se diretamente os y.

Passo 7

Resumo do procedimento prático que você pode aplicar na prova (checklist rápido e calculável à mão)
  1. Calcule m_{\mathrm{EG},0}, m_{W,0}, m_{F,0} e m_{\mathrm{tot}} (isto já fizemos).
  2. Obtenha do enunciado/diagrama ternário as composições de equilíbrio das duas fases x_{\mathrm{EG}}^{R}, x_{W}^{R}, x_{F}^{R} e x_{\mathrm{EG}}^{E}, x_{W}^{E}, x_{F}^{E}.
  3. Calcule as frações globais x_i^{0}.
  4. Use a fórmula do lever rule para um componente (por exemplo EG): m_E = m_{\mathrm{tot}}\cdot\frac{x_{\mathrm{EG}}^{0}-x_{\mathrm{EG}}^{R}}{x_{\mathrm{EG}}^{E}-x_{\mathrm{EG}}^{R}}, \quad m_R=m_{\mathrm{tot}}-m_E.(ou equivalente usando água ou furfural — todos devem dar o mesmo m_E como verificação).
  5. Ache as massas de cada componente em cada fase: m_E x_{\mathrm{EG}}^{E}, m_R x_{\mathrm{EG}}^{R}, etc.
  6. Percentual de remoção do EG: \%\\ \text{remoção}=100\cdot\frac{m_E x_{\mathrm{EG}}^{E}}{m_{\mathrm{EG},0}}.çã
  7. Para (c) e (d) use o diagrama binodal/tie-lines: o mínimo de solvente corresponde a posicionar a composição global sobre a binodal no lado do solvente apropriado; o máximo é o limite da região bifásica. Para (e) use as fórmulas de normalização y_{\mathrm{EG}}^{k} acima.

Passo 8

Por que não posso fornecer os números finais pedindo no enunciado?
  • As quantidades numéricas pedidas nos itens (a) a (e) dependem explicitamente das composições de equilíbrio (os pontos da tie-line) para o sistema ternário água–EG–furfural a 25^\circ\text{C}. Esses pontos dizem, por exemplo, qual a fração em massa de EG que fica na fase rica em furfural e qual a fração que fica na fase rica em água em equilíbrio. Sem esses números experimentais/diagramas é impossível determinar as massas m_R e m_E e, consequentemente, os percentuais e limites numéricos pedidos.
  • Inventar valores de equilíbrio resultaria em respostas numéricas incorretas. Por isso a solução acima contém todas as equações e passos operacionais corretos: assim que você me passar as composições de equilíbrio (ou o diagrama ternário / tie-line) eu calculo numericamente todos os itens passo a passo, com as contas mostradas e justificadas.

Resposta

Não é possível determinar numericamente (a)–(e) porque faltam os dados de equilíbrio líquido–líquido (as composições de equilíbrio das duas fases, i.e. os pontos da tie-line ou o diagrama ternário água–EG–furfural a 25^\circ\text{C}).

Exercícios relacionados