Tem-se uma alimentação com 30 \% de ácido acético e 70 \% de água. Esta alimentação é tratada com éter isopropílico puro. Uma extração em batelada feita em um tanque de mistura processa 15 kg de alimentação.
a) Quais são as quantidades mínima e máxima de solvente necessárias para a extração?
b) Se 10 kg de solvente é usado, encontre as composições do extrato e do refinado.
c) Se é requerido um refinado de composição x_{\mathrm{A}}=0,1, quanto solvente é necessário?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar TUDO que está explícito):
  • Alimentação (feed) com massa F=15\\ \mathrm{kg}.
  • Composição da alimentação: 30\% de ácido acético e 70\% de água (por massa). Ou seja, a massa de ácido acético na alimentação é
M_A = F\cdot 0{,}30 = 15\cdot 0{,}30 = 4{,}5\\ \mathrm{kg}.
  • O solvente usado é éter isopropílico puro (começa sem ácido nem água).
  • O processo é uma extração em batelada (uma etapa de equilíbrio entre as duas fases).
    As perguntas pedidas:
    (a) Quais são as quantidades mínima e máxima de solvente necessárias para a extração?
    (b) Se 10\\ \mathrm{kg} de solvente é usado, encontrar as composições do extrato e do refinado.
    (c) Se se exige um refinado com composição x_{\mathrm{A}}=0{,}1 (fração em massa do ácido no refinado), quanto solvente é necessário?
Observação importante (não resolvo nada ainda): falta no enunciado a relação de equilíbrio entre as fases (a chamada isoterma de extração), por exemplo uma constante de partição K ou uma curva de equilíbrio que relacione a fração em massa do soluto na fase orgânica com a fração na fase aquosa. Essa informação é necessária para calcular valores numéricos finais. Vou proceder assumindo a hipótese usual e explicando claramente: considerar que o solvente e a água são essencialmente imiscíveis (o solvente fica na fase orgânica e a água na fase aquosa), e que a distribuição do ácido entre as duas fases em equilíbrio é dada por uma relação linear simples
y = K x,
onde x é a fração em massa de ácido na fase aquosa (raffinado) e y é a fração em massa de ácido na fase orgânica (extrato), e K é a constante de distribuição (valor que deve ser obtido experimentalmente ou fornecido no enunciado). Vou explicitar quando essa hipótese foi usada. Sem o valor de K só é possível dar expressões algébricas em função de K; se o valor numérico de K for fornecido, basta substituir para obter números.

Passo 2

Explicando os conceitos e as equações fundamentais (aula rápida e prática).
  • Em extração líquida uma única etapa em batelada: mistura-se a alimentação de massa F com S (massa) de solvente puro; após atingir o equilíbrio formam-se duas fases: o refinado (fase aquosa, massa R) e o extrato (fase orgânica, massa E). Conservação de massa total:
R + E = F + S.
  • Conservação do soluto (ácido acético): a massa total de ácido na alimentação M_A se distribui entre as duas fases:
M_A = R\,x + E\,y,
onde x é a fração em massa de ácido no refinado e y a fração em massa de ácido no extrato.
  • Relação de equilíbrio (hipótese): adotamos a forma linear simples
y = K x,
com K constante de partição (unidade adimensional, razão de frações em massa). Esse K é a peça que falta no enunciado para números concretos.
  • Hipótese adicional usual (e aqui adotada para simplificar e porque é a hipótese típica desses exercícios): o solvente é essencialmente imiscível com a fase aquosa, logo a massa do refinado é, dentro da aproximação, igual à massa da alimentação R\approx F e a massa do extrato é E\approx S. Em palavras: despreza-se a solubilidade do solvente na água e da água no solvente, exceto pelo soluto (ácido) que distribui entre as fases. Essa é a hipótese que torna as contas simples e é usada em muitos problemas didáticos; eu vou usá‑la aqui e explicarei onde entra.

Passo 3

Derivar as fórmulas gerais (com as hipóteses acima).
  • Como adotamos R=F e E=S, a conservação do soluto fica
M_A = F\,x + S\,y.
  • Usando a isoterma y=Kx,
M_A = F\,x + S\,Kx = x\,(F+S K).
  • Assim isolamos a composição do refinado em função de S e K:
\boxed{x = \dfrac{M_A}{F + S K}.}
  • E a composição do extrato é
\boxed{y = K x = \dfrac{K M_A}{F + S K}.}
Essas duas expressões são centrais: dadas F, M_A e K, e para um solvente usado S, obtém‑se diretamente x e y. Vou agora usar essas fórmulas para responder as partes pedidas.

Passo 4

Responder a parte (a): mínimo e máximo de solvente necessários.
  • Interpretação física: “extrair tudo o ácido (zero no refinado)” significaria ter x=0. Pela expressão anterior
x = \dfrac{M_A}{F + S K},
para obter x=0 com M_A>0 seria necessário F + S K \to \infty, isto é S\to\infty (a não ser que K\to\infty, o que não acontece na prática). Portanto:
  • Não existe uma quantidade finita de solvente que remova completamente (a zero) o ácido do refinado; para x tender a zero é preciso S\to\infty. Logo não há um “mínimo finito” de solvente para remoção total.
  • Se a pergunta for interpretada como “quanto solvente mínimo para que haja extração (alguma parte do ácido vá para o extrato)?” a resposta é qualquer S>0 (qualquer pequena quantidade de solvente puro fará com que parte do soluto se distribua para a fase orgânica, desde que K>0).
  • Sobre “máximo de solvente”: teoricamente não há um máximo prático (pode‑se usar mais solvente para melhorar a extração), ou seja S pode crescer sem limite até restrições econômicas/práticas. Em termos matemáticos, S\to\infty é o limite que dá x\to0 e y\to0 (frações se tornam pequenas, pois o ácido se dilui no grande volume de solvente).
  • Resumo objetivo: não existe um mínimo finito para extrair todo o ácido (é necessário S\to\infty); qualquer S>0 produz alguma extração; não existe máximo finito (limite prático depende de custo).

Passo 5

Resolver a parte (b): S=10\\ \mathrm{kg}. Usar as fórmulas do Passo 3 e os dados numéricos.
  • Dados: F=15\\ \mathrm{kg}, M_A=4{,}5\\ \mathrm{kg}, S=10\\ \mathrm{kg}.
  • Pela fórmula:
x = \dfrac{M_A}{F + S K} = \dfrac{4{,}5}{15 + 10\,K}.
y = \dfrac{K M_A}{F + S K} = \dfrac{4{,}5\,K}{15 + 10\,K}.
  • Interpretação: aqui x é a fração em massa de ácido no refinado (a resposta pedida para a composição do refinado) e y é a fração em massa de ácido no extrato (composição do extrato). Para obter números, substitua o valor numérico de K (constante de partição) nessas expressões. Exemplo ilustrativo (APENAS um exemplo numérico para ver o efeito): se K=1 então x=\dfrac{4{,}5}{25}=0{,}18 (18% no refinado) e y=0{,}18 (18% no extrato). Mas esse exemplo só ilustra; o valor real depende de K.

Passo 6

Resolver a parte (c): refinado exigido com x_{\mathrm{A}}=0{,}1.
  • Queremos x=0{,}1. Usando a relação do Passo 3:
0{,}1 = \dfrac{M_A}{F + S K}.
  • Isolando S:
F + S K = \dfrac{M_A}{0{,}1} = 10\,M_A \quad\Rightarrow\quad S K = 10 M_A - F.
Lembrando que M_A=4{,}5 e F=15,
S K = 10\cdot 4{,}5 - 15 = 45 - 15 = 30.
Logo
\boxed{S = \dfrac{30}{K}\\ \mathrm{kg}.}
  • Interpretação: para obter um refinado com 10\% de ácido, o solvente necessário é 30/K kg; para números substitua K. Por exemplo, se K=1 então S=30\\ \mathrm{kg} (exemplo ilustrativo).

Resposta

(a) Não existe uma quantidade finita de solvente que remova todo o ácido (para x\to0 é necessário S\to\infty); qualquer S>0 produz alguma extração; não há um máximo finito (limite prático depende de custo).
(b) Com S=10\\ \mathrm{kg}: x_{\mathrm{A}}=\dfrac{4{,}5}{15+10\,K} e y_{\mathrm{A}}=\dfrac{4{,}5\,K}{15+10\,K}, onde K é a constante de partição da isoterma.
(c) Para x_{\mathrm{A}}=0{,}1: \;S=\dfrac{30}{K}\\ \mathrm{kg}.
Observação final e incentivo: se você me der o valor experimental (ou tabelado) de K para ácido acético entre água e éter isopropílico à temperatura de interesse, eu já substituo e calculo os números específicos para (b) e (c). Dá pra fazer isso rapidinho — você consegue!

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