Tem-se uma alimentação com
de ácido acético e
de água. Esta alimentação é tratada com éter isopropílico puro. Uma extração em batelada feita em um tanque de mistura processa 15 kg de alimentação.
a) Quais são as quantidades mínima e máxima de solvente necessárias para a extração?
b) Se 10 kg de solvente é usado, encontre as composições do extrato e do refinado.
c) Se é requerido um refinado de composição
, quanto solvente é necessário?
a) Quais são as quantidades mínima e máxima de solvente necessárias para a extração?
b) Se 10 kg de solvente é usado, encontre as composições do extrato e do refinado.
c) Se é requerido um refinado de composição
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (vou listar TUDO que está explícito):
- Alimentação (feed) com massa
. - Composição da alimentação:
de ácido acético e de água (por massa). Ou seja, a massa de ácido acético na alimentação é
- O solvente usado é éter isopropílico puro (começa sem ácido nem água).
- O processo é uma extração em batelada (uma etapa de equilíbrio entre as duas fases).
As perguntas pedidas:
(a) Quais são as quantidades mínima e máxima de solvente necessárias para a extração?
(b) Sede solvente é usado, encontrar as composições do extrato e do refinado.
(c) Se se exige um refinado com composição(fração em massa do ácido no refinado), quanto solvente é necessário?
Observação importante (não resolvo nada ainda): falta no enunciado a relação de equilíbrio entre as fases (a chamada isoterma de extração), por exemplo uma constante de partição
ou uma curva de equilíbrio que relacione a fração em massa do soluto na fase orgânica com a fração na fase aquosa. Essa informação é necessária para calcular valores numéricos finais. Vou proceder assumindo a hipótese usual e explicando claramente: considerar que o solvente e a água são essencialmente imiscíveis (o solvente fica na fase orgânica e a água na fase aquosa), e que a distribuição do ácido entre as duas fases em equilíbrio é dada por uma relação linear simples
onde
é a fração em massa de ácido na fase aquosa (raffinado) e
é a fração em massa de ácido na fase orgânica (extrato), e
é a constante de distribuição (valor que deve ser obtido experimentalmente ou fornecido no enunciado). Vou explicitar quando essa hipótese foi usada. Sem o valor de
só é possível dar expressões algébricas em função de
; se o valor numérico de
for fornecido, basta substituir para obter números.
Passo 2
Explicando os conceitos e as equações fundamentais (aula rápida e prática).
- Em extração líquida uma única etapa em batelada: mistura-se a alimentação de massa
com (massa) de solvente puro; após atingir o equilíbrio formam-se duas fases: o refinado (fase aquosa, massa ) e o extrato (fase orgânica, massa ). Conservação de massa total:
- Conservação do soluto (ácido acético): a massa total de ácido na alimentação
se distribui entre as duas fases:
onde
é a fração em massa de ácido no refinado e
a fração em massa de ácido no extrato.
- Relação de equilíbrio (hipótese): adotamos a forma linear simples
com
constante de partição (unidade adimensional, razão de frações em massa). Esse
é a peça que falta no enunciado para números concretos.
- Hipótese adicional usual (e aqui adotada para simplificar e porque é a hipótese típica desses exercícios): o solvente é essencialmente imiscível com a fase aquosa, logo a massa do refinado é, dentro da aproximação, igual à massa da alimentação
e a massa do extrato é . Em palavras: despreza-se a solubilidade do solvente na água e da água no solvente, exceto pelo soluto (ácido) que distribui entre as fases. Essa é a hipótese que torna as contas simples e é usada em muitos problemas didáticos; eu vou usá‑la aqui e explicarei onde entra.
Passo 3
Derivar as fórmulas gerais (com as hipóteses acima).
- Como adotamos
e , a conservação do soluto fica
- Usando a isoterma
,
- Assim isolamos a composição do refinado em função de
e :
- E a composição do extrato é
Essas duas expressões são centrais: dadas
,
e
, e para um solvente usado
, obtém‑se diretamente
e
. Vou agora usar essas fórmulas para responder as partes pedidas.
Passo 4
Responder a parte (a): mínimo e máximo de solvente necessários.
- Interpretação física: “extrair tudo o ácido (zero no refinado)” significaria ter
. Pela expressão anterior
para obter
com
seria necessário
, isto é
(a não ser que
, o que não acontece na prática). Portanto:
- Não existe uma quantidade finita de solvente que remova completamente (a zero) o ácido do refinado; para
tender a zero é preciso . Logo não há um “mínimo finito” de solvente para remoção total. - Se a pergunta for interpretada como “quanto solvente mínimo para que haja extração (alguma parte do ácido vá para o extrato)?” a resposta é qualquer
(qualquer pequena quantidade de solvente puro fará com que parte do soluto se distribua para a fase orgânica, desde que ). - Sobre “máximo de solvente”: teoricamente não há um máximo prático (pode‑se usar mais solvente para melhorar a extração), ou seja
pode crescer sem limite até restrições econômicas/práticas. Em termos matemáticos, é o limite que dá e (frações se tornam pequenas, pois o ácido se dilui no grande volume de solvente). - Resumo objetivo: não existe um mínimo finito para extrair todo o ácido (é necessário
); qualquer produz alguma extração; não existe máximo finito (limite prático depende de custo).
Passo 5
Resolver a parte (b):
. Usar as fórmulas do Passo 3 e os dados numéricos.
- Dados:
, , . - Pela fórmula:
- Interpretação: aqui
é a fração em massa de ácido no refinado (a resposta pedida para a composição do refinado) e é a fração em massa de ácido no extrato (composição do extrato). Para obter números, substitua o valor numérico de (constante de partição) nessas expressões. Exemplo ilustrativo (APENAS um exemplo numérico para ver o efeito): se então (18% no refinado) e (18% no extrato). Mas esse exemplo só ilustra; o valor real depende de .
Passo 6
Resolver a parte (c): refinado exigido com
.
- Queremos
. Usando a relação do Passo 3:
- Isolando
:
Lembrando que
e
,
Logo
- Interpretação: para obter um refinado com
de ácido, o solvente necessário é kg; para números substitua . Por exemplo, se então (exemplo ilustrativo).
Resposta
(a) Não existe uma quantidade finita de solvente que remova todo o ácido (para
é necessário
); qualquer
produz alguma extração; não há um máximo finito (limite prático depende de custo).
(b) Com :
e
, onde
é a constante de partição da isoterma.
(c) Para :
(b) Com
(c) Para
Observação final e incentivo: se você me der o valor experimental (ou tabelado) de
para ácido acético entre água e éter isopropílico à temperatura de interesse, eu já substituo e calculo os números específicos para (b) e (c). Dá pra fazer isso rapidinho — você consegue!