A 25^{\circ} \mathrm{C}, uma barra tem exatamente 20,11 \mathrm{~cm} de comprimento, de acordo com uma régua de aço. Quando a barra e a régua são colocadas em um forno a 300^{\circ} \mathrm{C}, a barra passa a medir 20,19 \mathrm{~cm} de acordo com a mesma régua. Qual é o coeficiente de dilatação linear do material de que é feito a barra?
Dado: Coeficiente de dilatação linear do aço é 11 \times 10^{-6}.
\begin{aligned} & l_{0}=0,2011 \mathrm{~m} \quad \Delta T=275 \mathrm{k} \quad l_{01}=0,2011 \\\ & l_{f}=0,2019 \mathrm{~m} \\\ & \Delta L=L_{0} \alpha \Delta T=0,2011 \cdot 11 \cdot 10^{-6} \cdot 275=0,000608 \\\ & \Delta L+L_{i}=A L_{i}=0,2011+0,000608=0,201708 \end{aligned}
\alpha=\frac{L_{t}-L_{0}}{L_{0} \Delta T}=\frac{0,2019-0,2011}{0,2011 \cdot 275}=\frac{0,0008}{55,3025}=14,5 \cdot 10^{-6}

Passo 1

O enunciado diz que, a 25^{\circ}\mathrm{C}, uma barra mede 20{,}11,cm segundo uma régua de aço. Levando barra e régua a 300^{\circ}\mathrm{C}, a leitura passa para 20{,}19,cm na mesma régua. Sabendo que o coeficiente de dilatação linear do aço é \alpha_{\mathrm{aço}}=11\times10^{-6}\,\mathrm{K}^{-1}ç, queremos achar o coeficiente \alpha_{\mathrm{barra}} do material da barra.

Passo 2

Quando medimos o comprimento de um corpo com uma régua que também se expande, o número de divisões lidas, digamos N, satisfaz
N \;=\;\frac{L_{\text{barra}}(T)}{\ell_{\text{divisão}}(T)},ã
onde L_{\text{barra}}(T) é o comprimento real da barra à temperatura T e \ell_{\text{divisão}}(T)ã é o comprimento de uma divisão da régua a T.

Passo 3

Escrevendo a expansão linear:
L_{\text{barra}}(T)=L_{0}\bigl(1+\alpha_{\mathrm{barra}}\Delta T\bigr), \quad \ell_{\text{divisão}}(T)=\ell_{0}\bigl(1+\alpha_{\mathrm{aço}}\Delta T\bigr),ãç
com L_{0}=20{,}11,cm, \ell_{0}=1,cm e \Delta T=300-25=275,K. Como N=20{,}19, temos
20{,}19\;\bigl(1+\alpha_{\mathrm{aço}}\Delta T\bigr) \;=\; 20{,}11\;\bigl(1+\alpha_{\mathrm{barra}}\Delta T\bigr).ç

Passo 4

Isolando \alpha_{\mathrm{barra}},
1+\alpha_{\mathrm{barra}}\Delta T =\frac{20{,}19\,(1+\alpha_{\mathrm{aço}}\Delta T)}{20{,}11},ç
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\alpha_{\mathrm{barra}} =\frac{\dfrac{20{,}19\,(1+\alpha_{\mathrm{aço}}\Delta T)}{20{,}11}-1}{\Delta T}.ç

Passo 5

Substituindo os valores:
1+\alpha_{\mathrm{aço}}\Delta T =1+11\times10^{-6}\cdot275 =1{,}003025,ç
\frac{20{,}19\times1{,003025}}{20{,}11} \approx1{,}0070138,
\alpha_{\mathrm{barra}} =\frac{1{,}0070138-1}{275} \approx2{,}55\times10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}.

Resposta

\alpha_{\mathrm{barra}}\approx25{,}5\times10^{-6}\,\mathrm{K}^{-1}.

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