Exercício 5: Uma esfera sólida de raio R e concêntrica com uma casca esférica de raio interno 2 R e raio externo 3 R e que possui carga +q_{\text {casca }}. Se o potencial eletrostático no centro comum da esfera e da casca é o mesmo que o potencial no infinito, qual a carga \mathrm{q}_{\text {esfera }} na esfera sólida se:
a) a esfera e condutora ?
b) a esfera é não-condutora e tem uma distribuição de carga uniforme em toda ela?

Passo 1

O enunciado descreve um sólido esférico de raio R concentricamente envolto por uma casca esférica de raios interno 2R e externo 3R, portadora de carga +q_{\text{cas}}. Precisamos achar a carga q_{\text{esfera}} no sólido de modo que o potencial eletrostático no centro seja igual ao potencial no infinito (que tomamos como zero). O conteúdo principal é o cálculo de potenciais de distribuições esféricas (casca e esfera, condutora ou volumétrica).

Passo 2

Pelo teorema das cascas esféricas, qualquer casca esférica de raio máximo a e carga q produz no interior um potencial constante igual ao de uma carga pontual q no centro a uma distância a. Aqui a=3R, logo
V_{\text{casca}}(0) =k\,\frac{q_{\text{cas}}}{3R}\,,
onde k=1/(4\pi\varepsilon_0).

Passo 3

Caso (a): esfera condutora.
Toda carga q_{\text{esfera}} fica na superfície de raio R e, no interior, o potencial é o mesmo de um ponto a r=R:
V_{\text{esfera,cond}}(0) =k\,\frac{q_{\text{esfera}}}{R}\,.
Para que V(0)=0, temos
V_{\text{total}}(0) =V_{\text{esfera,cond}}(0)+V_{\text{casca}}(0) =k\Bigl(\frac{q_{\text{esfera}}}{R}+\frac{q_{\text{cas}}}{3R}\Bigr)=0
\Longrightarrow\quad q_{\text{esfera}}=-\frac{q_{\text{cas}}}{3}\,.

Passo 4

Caso (b): esfera não-condutora com carga volumétrica uniforme \rho.
Temos
\rho=\frac{q_{\text{esfera}}}{\tfrac{4}{3}\pi R^3}\,,
e o potencial no centro é dado por
V_{\text{esfera,unif}}(0) =k\int_{0}^{R}\frac{\rho\,4\pi r^2}{r}\,dr =k\,4\pi\rho\int_{0}^{R}r\,dr =k\,2\pi\rho R^2 =k\,2\pi\frac{3q_{\text{esfera}}}{4\pi R^3}R^2 =\frac{3}{2}k\frac{q_{\text{esfera}}}{R}\,.
Impondo V_{\text{total}}(0)=0:
k\Bigl(\frac{3}{2}\frac{q_{\text{esfera}}}{R}+\frac{q_{\text{cas}}}{3R}\Bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{3}{2}q_{\text{esfera}}=-\frac{q_{\text{cas}}}{3} \quad\Longrightarrow\quad q_{\text{esfera}}=-\frac{2}{9}q_{\text{cas}}.

Resposta

a) q_{\text{esfera}}=-\tfrac{1}{3}q_{\text{cas}}
b) q_{\text{esfera}}=-\tfrac{2}{9}q_{\text{cas}}

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