Exercício 5: Uma esfera sólida de raio
e concêntrica com uma casca esférica de raio interno
e raio externo
e que possui carga
. Se o potencial eletrostático no centro comum da esfera e da casca é o mesmo que o potencial no infinito, qual a carga
na esfera sólida se:
a) a esfera e condutora ?
b) a esfera é não-condutora e tem uma distribuição de carga uniforme em toda ela?
a) a esfera e condutora ?
b) a esfera é não-condutora e tem uma distribuição de carga uniforme em toda ela?
Passo 1
O enunciado descreve um sólido esférico de raio
concentricamente envolto por uma casca esférica de raios interno
e externo
, portadora de carga
. Precisamos achar a carga
no sólido de modo que o potencial eletrostático no centro seja igual ao potencial no infinito (que tomamos como zero). O conteúdo principal é o cálculo de potenciais de distribuições esféricas (casca e esfera, condutora ou volumétrica).
Passo 2
Pelo teorema das cascas esféricas, qualquer casca esférica de raio máximo
e carga
produz no interior um potencial constante igual ao de uma carga pontual
no centro a uma distância
. Aqui
, logo
onde
.
Passo 3
Caso (a): esfera condutora.
Toda carga fica na superfície de raio
e, no interior, o potencial é o mesmo de um ponto a
:
Toda carga
Para que
, temos
Passo 4
Caso (b): esfera não-condutora com carga volumétrica uniforme
.
Temos
Temos
e o potencial no centro é dado por
Impondo
:
Resposta
a)
b)
b)