25^circ ) Questão.

Encontre uma edo que possui as seguintes soluções
y1(t)=-2 cos (2 t)+e^3 t, y2(t)=cos (2 t)-sen(2 t)+e^3 t e y3(t)=e^3 t

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma equação diferencial ordinária linear homogênea com coeficientes constantes que admita como soluções
y1(t)=-2cos(2t)+e^3t, y2(t)=cos(2t)-sen(2t)+e^3t, y3(t)=e^3t
O conteúdo usado será teoria de EDOs lineares de coeficientes constantes e polinômio característico.

Passo 2

Para identificar a base de soluções fundamentais, note que
y1(t)-y3(t)=-2cos(2t), y2(t)-y3(t)=cos(2t)-sen(2t)
Dessas combinações obtemos funções proporcionais a cos(2t) e sen(2t). Assim, as três soluções independentes são
e^3t, cos(2t), sen(2t)

Passo 3

Cada solução corresponde a uma raiz do polinômio característico:
,e^3t to raiz real r=3,
cos(2t) e sen(2t) to raízes complexas conjugadas r=pm 2i.
Logo o polinômio característico é
(r-3),(r^2+4)=0

Passo 4

Expandindo (r-3)(r^2+4)=r^3-3r^2+4r-12 e trocando r por D (operador derivada) obtemos a EDO
D^3-3D^2+4D-12=0 Longrightarrow y'''-3y''+4y'-12y=0

Resposta

A equação diferencial é
y'''-3y''+4y'-12y=0

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