Encontre a solução dos PVI abaixo.
y^prime prime+y=0, y(pi3)=2, y^prime(pi3)=-4.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes
y'' + y = 0
sujeita às condições iniciais
yl(tfracpi3r)=2, y'l(tfracpi3r)=-4
O conteúdo necessário é a resolução de EDO homogênea por equação característica e a aplicação das condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada:
r^2 + 1 = 0
As raízes são r = pm i, o que dá a solução geral
y(x) = Acos x + Bsin x,
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 3

Calculamos a derivada de y(x):
y'(x) = -Asin x + Bcos x

Passo 4

Aplicamos a condição yl(tfracpi3r)=2. Como cosl(tfracpi3r)=tfrac12 e sinl(tfracpi3r)=tfracraiz32, temos
Acdottfrac12 ;+; Bcdottfracraiz32 ;=; 2 Longrightarrow A + raiz3,B = 4

Passo 5

Aplicamos a condição y'l(tfracpi3r)=-4. Como sinl(tfracpi3r)=tfracraiz32 e cosl(tfracpi3r)=tfrac12, obtemos
-Acdottfracraiz32 ;+; Bcdottfrac12 ;=; -4 Longrightarrow -raiz3,A + B = -8

Passo 6

Resolvemos o sistema
A + raiz3,B = 4, -raiz3,A + B = -8
Da segunda equação vem B = -8 + raiz3,A. Substituindo na primeira:
A + raiz3,(-8 + raiz3,A) = 4 ;Longrightarrow; A - 8raiz3 + 3A = 4 ;Longrightarrow; 4A = 4 + 8raiz3 ;Longrightarrow; A = 1 + 2raiz3
Logo
B = -8 + raiz3,(1 + 2raiz3) = -8 + raiz3 + 6 = raiz3 - 2

Passo 7

Substituindo A e B na solução geral, a solução particular fica
y(x) = l(1 + 2raiz3r)cos x ;+;l(raiz3 - 2r)sin x

Resposta

y(x) = l(1 + 2raiz3r)cos x + l(raiz3 - 2r)sin x

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