Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação
Este é um EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que consiste em escrever
onde
é a solução da homogênea e
é uma particular para o termo não homogêneo.
Passo 2
Resolvendo a parte homogênea
a equação característica é
Logo,
Passo 3
Buscamos uma particular para o termo
. Fazemos
Então
Isto deve ser igual a
. Comparando coeficientes:
Portanto
Passo 4
Agora tratamos o termo
. Como
está na solução homogênea, usamos o ansatz
com
Para este tipo de ansatz vale a fórmula
Como queremos
, impomos
Calculando derivadas:
Substituindo:
Isto dá o sistema
Daí
,
,
,
. Logo
e
Passo 5
A solução particular total é
Portanto, a solução geral é