Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^prime prime+y=3 sen(2 t)+t cos (t)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
y'' + y = 3sen(2t) + tcos(t)
Este é um EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que consiste em escrever
y(t) = yh(t) + yp(t),
onde yh é a solução da homogênea e yp é uma particular para o termo não homogêneo.

Passo 2

Resolvendo a parte homogênea
y'' + y = 0
a equação característica é
r^2 + 1 = 0 Longrightarrow r = pm i
Logo,
yh(t) = C1cos t + C2sen t

Passo 3

Buscamos uma particular para o termo 3sen(2t). Fazemos
yp1(t) = Acos(2t) + Bsen(2t)
Então
yp1'' + yp1 = l(-4Acos(2t)-4Bsen(2t)r) + l(Acos(2t)+Bsen(2t)r) = -3Acos(2t)-3Bsen(2t)
Isto deve ser igual a 3sen(2t). Comparando coeficientes:
-3A = 0, -3B = 3 Longrightarrow A=0,;B=-1
Portanto
yp1(t) = -sen(2t)

Passo 4

Agora tratamos o termo tcos(t). Como cos t está na solução homogênea, usamos o ansatz
yp2(t) = U(t)cos t + V(t)sen t,
com
U(t)=a,t^2+b,t, V(t)=c,t^2+d,t
Para este tipo de ansatz vale a fórmula
yp2'' + yp2 = l(U'' + 2V'r)cos t + l(V'' - 2U'r)sen t
Como queremos yp2''+yp2=tcos t, impomos
U'' + 2V' = t, V'' - 2U' = 0
Calculando derivadas:
U' = 2a t + b, U'' = 2a, V' = 2c t + d, V'' = 2c
Substituindo:
2a + 2(2c t + d) = t, 2c - 2(2a t + b) = 0
Isto dá o sistema
4c = 1, 2a+2d=0, -4a=0, 2c-2b=0
Daí a=0, c=tfrac14, b=tfrac14, d=0. Logo
U(t)=t4, V(t)=t^24,
e
yp2(t) = t4cos t + t^24sen t

Passo 5

A solução particular total é
yp(t) = yp1(t) + yp2(t) = -sen(2t) + t4cos t + t^24sen t
Portanto, a solução geral é
y(t) = C1cos t + C2sen t -sen(2t) + t4cos t + t^24sen t

Resposta

y(t) = C1cos t + C2sen t - sen(2t) + t4cos t + t^24sen t

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