As características de uma bomba centrífuga, em uma certa rotação constante são dadas a seguir.
\mathrm{Q}(1 / \mathrm{s}) 0 12 18 24 30 36 42
\mathrm{H}(\mathrm{m}) 22,6 21,3 19,4 16,2 11,6 6,5 0,6
\eta(\%) 0 74 86 85 70 46 8
A bomba é usada para elevar água vencendo uma altura geométrica de 6,5 \mathrm{~m}, por meio de uma tubulação de 10 cm de diâmetro, 65 m de comprimento e coeficiente \mathrm{C} \_\mathrm{HZ}=130.
a) Determine a vazão recalcada e a potência consumida pela bomba. [Q = 27 \mathrm{~L} / \mathrm{s}; Pot 6,46 c.v.)
b) Necessitando-se aumentar a vazão pela adição de urna segunda bomba idêntica à outra, investigue se esta bomba deve ser instalada em série ou paralelo com a bomba original. Justifique a resposta pela determinação do acréscimo de vazão e potência consumida por ambas as bombas. [Paralelo: 1,33.Q-11,16 c.v.; Série: 1,22.Q-13,65 c.v.]

Passo 1

O enunciado dá as características da bomba (vazão, altura e rendimento em pontos tabelados) e os dados da instalação hidráulica. O que é pedido:
  • (a) Determinar a vazão operante (vazão recalcada) e a potência consumida pela bomba quando se eleva água vencendo uma altura geométrica de 6,5 m por uma tubulação de diâmetro 0,10 m, comprimento 65 m e coeficiente Hazen–Williams C\_\mathrm{HZ}=130.
  • (b) Se for adicionada uma segunda bomba idêntica, investigar se ela deve ser instalada em série ou em paralelo, determinando o acréscimo de vazão e a potência consumida pelas duas bombas em cada caso, e indicando qual arranjo é mais conveniente.
Dados do enunciado (retirei diretamente da tabela fornecida):
\begin{array}{c|ccccccc} Q\\ (\mathrm{L/s}) & 0 & 12 & 18 & 24 & 30 & 36 & 42\\hline H\\ (\mathrm{m}) & 22{,}6 & 21{,}3 & 19{,}4 & 16{,}2 & 11{,}6 & 6{,}5 & 0{,}6\\\ \eta\\ (\%) & 0 & 74 & 86 & 85 & 70 & 46 & 8 \end{array}
Parâmetros da tubulação: comprimento L=65\\ \mathrm{m}, diâmetro D=0{,}10\\ \mathrm{m}, C\_\mathrm{HZ}=130. Altura geométrica fixa H_g=6{,}5\\ \mathrm{m}.
Observação: todas as contas numéricas com vazões serão feitas convertendo Q para \mathrm{m^{3}/s} quando necessário ( 1\\ \mathrm{L/s}=10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s}). A resolução efetiva começa no próximo passo.

Passo 2

Como encontrar a vazão de operação? Resumo do procedimento (sem desenvolver ainda os cálculos): traçamos a curva do sistema hidráulico (altura exigida pela tubulação em função da vazão) e intersectamos com a curva da bomba H_\mathrm{bomba}(Q). O ponto de interseção dá a vazão de operação.
Agora a fórmula que vamos usar para perdas de carga na tubulação (Hazen–Williams): é uma fórmula empiricamente muito usada para água em tubulações lisas/novas. A forma prática em unidades SI é:
h_f = 10{,}67\; \frac{L\; Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\; D^{4{,}87}}
onde
  • h_f é a perda de carga na tubulação em metros;
  • L é o comprimento em metros;
  • Q é a vazão em \mathrm{m^{3}/s};
  • C é o coeficiente Hazen–Williams (adimensional);
  • D é o diâmetro em metros.
A curva do sistema (altura total exigida pela tubulação) é
H_\mathrm{sist}(Q) = H_g + h_f(Q).
Explico rapidamente os termos: Q^{1{,}852} significa que a perda de carga cresce mais que linear com a vazão (por isso sistemas hidráulicos “castigam” aumentos de vazão); D^{4{,}87} mostra que um pequeno aumento de diâmetro reduz muito as perdas.

Passo 3

Interpolação da curva da bomba e do rendimento: a tabela da bomba dá pontos discretos (Q,H) e (Q,\eta). Na prática de prova a aproximação linear entre pontos adjacentes costuma ser aceita. Vou usar interpolação linear por trechos entre os pontos da tabela.
Para encontrar a vazão operante, precisamos resolver numericamente a equação
H_\mathrm{bomba}(Q) = H_\mathrm{sist}(Q) = H_g + 10{,}67\; \frac{L\; Q_m^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\; D^{4{,}87}}
onde Q_m é a vazão em \mathrm{m^{3}/s}. Observação: a tabela usa Q em \mathrm{L/s}; para a fórmula de Hazen–Williams uso Q_m = Q/1000.
Vamos trabalhar no intervalo onde a solução parece estar: olhando a tabela da bomba vemos que entre Q=24\\ \mathrm{L/s} e Q=30\\ \mathrm{L/s} a cabeça cai de 16{,}2 m para 11{,}6 m. A solução esperada (pista do enunciado) é perto de 27\\ \mathrm{L/s}, portanto usaremos interpolação linear de H_\mathrm{bomba} no trecho 24 30\\ \mathrm{L/s} e resolveremos numericamente.
Interpolação linear da cabeça no trecho 24 30:
H_\mathrm{bomba}(Q) = 16{,}2 + (Q-24)\cdot m_H
com
m_H = \frac{11{,}6-16{,}2}{30-24}=\frac{-4{,}6}{6}=-0{,}766\overline{6}\\ \mathrm{m/(L/s)}.
Para o rendimento, no trecho 24 30 temos \eta(24)=85\% e \eta(30)=70\%. Interpolação linear:
\eta(Q)=85\% + (Q-24)\cdot m_\eta,\qquad m_\eta=\frac{70-85}{6}=-2{,}5\\ \%\text{ por (L/s)}.

Passo 4

Cálculo da curva do sistema para um valor de teste Q, e comparação com H_\mathrm{bomba}. Vou avaliar alguns valores para localizar a raiz (método de tentativa e interpolação linear entre tentativas).
Configurações numéricas fixas na fórmula Hazen–Williams:
L=65\\ \mathrm{m},\quad D=0{,}10\\ \mathrm{m},\quad C=130.
No denominador da fórmula de HW calculamos uma constante:
C^{1{,}852}\; D^{4{,}87} = 130^{1{,}852}\cdot (0{,}10)^{4{,}87}.
Vou usar este valor numérico para acelerar os cálculos:
  • 130^{1{,}852}\approx 8{,}258 (cálculo via logaritmos),
  • (0{,}10)^{4{,}87}=10^{-4{,}87}\approx 1{,}354\times 10^{-5}.
    Multiplicando: C^{1{,}852}D^{4{,}87}\approx 0{,}11145.
Assim a fórmula simplificada numericamente é
h_f(Q)=10{,}67\cdot 65\cdot \frac{Q_m^{1{,}852}}{0{,}11145} = \frac{10{,}67\cdot 65}{0{,}11145}\; Q_m^{1{,}852}.
O fator \dfrac{10{,}67\cdot 65}{0{,}11145}\approx 607{,}6, então aproximadamente
h_f(Q)\approx 607{,}6\; Q_m^{1{,}852}.
Lembre-se: Q_m=Q/1000 com Q em \mathrm{L/s}.
Agora calculo H_\mathrm{sist} e H_\mathrm{bomba} em algumas tentativas para localizar o ponto de equilíbrio.
Tentativa Q=27\\ \mathrm{L/s}:
  • Q_m=0{,}027\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Q_m^{1{,}852}\approx 0{,}00124.
  • h_f\approx 607{,}6\cdot 0{,}00124\approx 7{,}72\\ \mathrm{m}.
  • H_\mathrm{sist}=6{,}5+7{,}72=14{,}22\\ \mathrm{m}.
  • H_\mathrm{bomba}(27)=16{,}2+(27-24)(-0{,}766\overline{6})=16{,}2-2{,}3=13{,}9\\ \mathrm{m}.
Comparação: H_\mathrm{bomba}<H_\mathrm{sist} em Q=27, logo a vazão real ficará um pouco menor que 27\\ \mathrm{L/s}.
Tentativa Q=26\\ \mathrm{L/s}:
  • Q_m=0{,}026.
  • Q_m^{1{,}852}\approx 0{,}00117.
  • h_f\approx 607{,}6\cdot 0{,}00117\approx 7{,}285\\ \mathrm{m}.
  • H_\mathrm{sist}=6{,}5+7{,}285=13{,}785\\ \mathrm{m}.
  • H_\mathrm{bomba}(26)=16{,}2+(26-24)(-0{,}766\overline{6})=16{,}2-1{,}5333=14{,}6667\\ \mathrm{m}.
Comparação: H_\mathrm{bomba}>H_\mathrm{sist} em Q=26. Logo a raiz está entre 26 e 27\\ \mathrm{L/s}.

Passo 5

Encontrando a raiz por interpolação linear entre as duas tentativas ( Q=26 e Q=27), usando os valores de diferença f(Q)=H_\mathrm{bomba}(Q)-H_\mathrm{sist}(Q):
  • Em Q=26: f(26)=14{,}6667-13{,}785=+0{,}882\\ \mathrm{m}.
  • Em Q=27: f(27)=13{,}9-14{,}22=-0{,}32\\ \mathrm{m}.
Linearmente, a raiz está em
Q = 26 + \frac{0{,}882}{0{,}882+0{,}32}\cdot(27-26) =26 + \frac{0{,}882}{1{,}202}\cdot 1 \approx 26{,}733\\ \mathrm{L/s}.
Arredondando para uma leitura prática, a vazão operante é
Q\approx 26{,}73\\ \mathrm{L/s}\approx 27\\ \mathrm{L/s}.

Passo 6

Cálculo da potência consumida pela bomba no ponto de operação encontrado.
  1. Determinar H_\mathrm{bomba} no ponto: usando a interpolação linear
H_\mathrm{bomba}(26{,}733) = 16{,}2 + (26{,}733-24)(-0{,}766\overline{6}) \approx 14{,}10\\ \mathrm{m}.
  1. Determinar rendimento \eta por interpolação no trecho 24 30:
\eta(26{,}733)=85\% + (26{,}733-24)(-2{,}5\% )\approx 78{,}17\%\approx 0{,}7817.
  1. Potência hidráulica (potência entregue ao fluido) é
P_\mathrm{hid}=\rho g Q_m H_\mathrm{bomba},
com \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, Q_m=0{,}026733\\ \mathrm{m^3/s}, H_\mathrm{bomba}\approx 14{,}10\\ \mathrm{m}.
Cálculo:
P_\mathrm{hid}=1000\cdot 9{,}81\cdot 0{,}026733\cdot 14{,}10 \approx 3{,}696\\ \mathrm{kW}.
  1. Potência absorvida (no eixo da bomba, entrada elétrica/mecânica) é
P_\mathrm{in}=\frac{P_\mathrm{hid}}{\eta} \approx \frac{3{,}696\\ \mathrm{kW}}{0{,}7817}\approx 4{,}73\\ \mathrm{kW}.
  1. Converter para cavalos-vapor (c.v.): 1\\ \mathrm{c.v.}\approx 735{,}5\\ \mathrm{W}. Então
P_\mathrm{in} \approx \frac{4{,}729\\ \mathrm{kW}}{0{,}7355\\ \mathrm{kW/cv}}\approx 6{,}43\\ \mathrm{c.v.}
Arredondando para comparar com o enunciado: P\approx 6{,}4 a 6{,}5\\ \mathrm{c.v.}. (No enunciado a resposta indicada foi 6{,}46\\ \mathrm{c.v.}, nosso cálculo deu 6{,}43\\ \mathrm{c.v.} — diferença pequena por arredondamentos.)

Passo 7

Agora a parte (b): duas bombas idênticas. Vamos calcular os dois arranjos.
Regra prática:
  • Em paralelo: as alturas se igualam, as vazões somam. Para duas bombas idênticas em paralelo,
H_\mathrm{bomba}(Q/2)=H_\mathrm{sist}(Q),
onde Q é a vazão total do sistema (soma das vazões das bombas).
  • Em série: as vazões se igualam, as alturas somam. Para duas bombas idênticas em série,
2\,H_\mathrm{bomba}(Q)=H_\mathrm{sist}(Q),
onde Q é a vazão que passa por ambas as bombas.
Vou resolver numericamente cada caso, usando interpolação linear das curvas H_\mathrm{bomba} já descrita.

Passo 8

Caso paralelo — solução numérica:
Procuramos Q_\mathrm{tot} tal que H_\mathrm{bomba}(Q_\mathrm{tot}/2)=H_\mathrm{sist}(Q_\mathrm{tot}).
Estimativa inicial (com base na resposta esperada): Q_\mathrm{tot}\approx 1{,}33\cdot 26{,}73\approx 35{,}6\\ \mathrm{L/s}.
Calculando em Q_\mathrm{tot}=35{,}65\\ \mathrm{L/s}:
  • Vazão por bomba Q_s=Q_\mathrm{tot}/2=17{,}825\\ \mathrm{L/s} \Rightarrow Q_{m}=0{,}017825\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Interpolação de H_\mathrm{bomba} no trecho 12 18: inclinação m_H=(19{,}4-21{,}3)/6=-0{,}3167\\ \mathrm{m/(L/s)}.
  • H_\mathrm{bomba}(17{,}825)\approx 21{,}3 + (17{,}825-12)(-0{,}3167)\approx 19{,}46\\ \mathrm{m}.
  • Perda de carga: Q_m^{1{,}852}\approx 0{,}00208 \Rightarrow h_f\approx 12{,}94\\ \mathrm{m}.
  • H_\mathrm{sist}=6{,}5 + 12{,}94\approx 19{,}44\\ \mathrm{m}.
Comparação: H_\mathrm{bomba}\approx 19{,}46 e H_\mathrm{sist}\approx 19{,}44 — estão praticamente iguais, logo
Q_\mathrm{tot}\approx 35{,}65\\ \mathrm{L/s}.
Agora a potência total:
  • Rendimento por bomba em Q_s=17{,}825: interpole entre 12 ( 74\%) e 18 ( 86\%):
\eta_s\approx 74\% + (17{,}825-12)\cdot 2\%\approx 85{,}65\%\approx 0{,}8565.
  • Potência hidráulica por bomba:
P_\mathrm{hid,s}=\rho g Q_{m} H_\mathrm{bomba}\approx 1000\cdot 9{,}81\cdot 0{,}017825\cdot 19{,}46\approx 3{,}401\\ \mathrm{kW}.
  • Potência de eixo por bomba:
P_{\mathrm{in},s}=\frac{P_\mathrm{hid,s}}{\eta_s}\approx \frac{3{,}401}{0{,}8565}\approx 3{,}97\\ \mathrm{kW}.
  • Potência total (duas bombas em paralelo):
P_\mathrm{tot,par} \approx 2\cdot 3{,}97 \approx 7{,}95\\ \mathrm{kW}\approx \frac{7{,}95}{0{,}7355}\approx 10{,}80\\ \mathrm{c.v.}
Relação com a vazão original:
\frac{Q_\mathrm{tot}}{Q_\mathrm{orig}}=\frac{35{,}65}{26{,}73}\approx 1{,}33.

Passo 9

Caso série — solução numérica:
Procuramos Q tal que 2H_\mathrm{bomba}(Q) = H_\mathrm{sist}(Q).
Estimativa inicial (pista): Q\approx 1{,}22\cdot 26{,}73\approx 32{,}6\\ \mathrm{L/s}. Vou ajustar por iterações.
Aproximação encontrada por interpolação entre tentativas dá Q\approx 33{,}18\\ \mathrm{L/s}.
Calculos em Q=33{,}18\\ \mathrm{L/s}:
  • Q_m=0{,}03318\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Interpolação de H_\mathrm{bomba} no trecho 30 36: inclinação m_H=(6{,}5-11{,}6)/6=-0{,}85\\ \mathrm{m/(L/s)}.
  • H_\mathrm{bomba}(33{,}18)\approx 11{,}6 + (33{,}18-30)(-0{,}85)\approx 8{,}90\\ \mathrm{m}.
  • Soma das duas bombas: 2H_\mathrm{bomba}\approx 17{,}80\\ \mathrm{m}.
  • Perda de carga h_f para Q_m=0{,}03318 dá aproximadamente h_f\approx 11{,}3\\ \mathrm{m}.
  • Logo H_\mathrm{sist}=6{,}5+11{,}3\approx 17{,}8\\ \mathrm{m}.
Estão balanceados, portanto
Q\approx 33{,}18\\ \mathrm{L/s}.
Potência total:
  • Rendimento por bomba em 33{,}18\\ \mathrm{L/s}: interpole entre 30 ( 70\%) e 36 ( 46\%):
\eta\approx 70\% + (33{,}18-30)(-4\%)\approx 57{,}3\%\approx 0{,}573.
  • Potência hidráulica por bomba:
P_\mathrm{hid,s}=\rho g Q_{m} H_\mathrm{bomba}\approx 1000\cdot 9{,}81\cdot 0{,}03318\cdot 8{,}90\approx 2{,}90\\ \mathrm{kW}.
  • Potência de eixo por bomba:
P_{\mathrm{in},s}=\frac{2{,}90}{0{,}573}\approx 5{,}06\\ \mathrm{kW}.
  • Potência total (duas bombas em série):
P_\mathrm{tot,ser} \approx 2\cdot 5{,}06\approx 10{,}12\\ \mathrm{kW}\approx \frac{10{,}12}{0{,}7355}\approx 13{,}75\\ \mathrm{c.v.}
Relação com a vazão original:
\frac{Q_\mathrm{ser}}{Q_\mathrm{orig}}=\frac{33{,}18}{26{,}73}\approx 1{,}24.

Passo 10

Conclusão e interpretação (justificativa prática):
  • Em paralelo: a vazão aumenta mais (aproximadamente +33\%, fica \approx 35{,}65\\ \mathrm{L/s}) por uma potência total menor ( \approx 7{,}95\\ \mathrm{kW} ou \approx 10{,}8\\ \mathrm{c.v.}).
  • Em série: a vazão aumenta menos (aproximadamente +24\%, fica \approx 33{,}18\\ \mathrm{L/s}), e a potência total é maior ( \approx 10{,}12\\ \mathrm{kW} ou \approx 13{,}8\\ \mathrm{c.v.}) porque cada bomba trabalha a vazões altas com rendimento ruim na região (rendimento cai muito com aumento de Q para essa bomba).
Portanto, se o objetivo for aumentar a vazão com a menor potência adicional total, a colocação em paralelo é a recomendada (maior acréscimo de vazão por menor consumo total).

Resposta

a) Q\approx 26{,}73\\ \mathrm{L/s}\\ (\text{aprox. }27\\ \mathrm{L/s});\quad P_\text{consumida}\approx 4{,}73\\ \mathrm{kW}\approx 6{,}43\\ \mathrm{c.v.}
b) Paralelo: Q_\text{total}\approx 35{,}65\ \mathrm{L/s}\ (1{,}33\cdot Q);\quad P_\text{total}\approx 7{,}95\ \mathrm{kW}\approx 10{,}80\ \mathrm{c.v.}\nSérie: \(Q\approx 33{,}18\ \mathrm{L/s}\ (1{,}24\cdot Q);\quad P_\text{total}\approx 10{,}12\ \mathrm{kW}\approx 13{,}75\ \mathrm{c.v.}\nRecomendação: instalar em paralelo (maior aumento de vazão por menor potência adicional).

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