As características de uma bomba centrífuga, em uma certa rotação constante são dadas a seguir.
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18
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22,6
21,3
19,4
16,2
11,6
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0,6
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86
85
70
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A bomba é usada para elevar água vencendo uma altura geométrica de
, por meio de uma tubulação de 10 cm de diâmetro, 65 m de comprimento e coeficiente
.
a) Determine a vazão recalcada e a potência consumida pela bomba. [Q =
; Pot 6,46 c.v.)
b) Necessitando-se aumentar a vazão pela adição de urna segunda bomba idêntica à outra, investigue se esta bomba deve ser instalada em série ou paralelo com a bomba original. Justifique a resposta pela determinação do acréscimo de vazão e potência consumida por ambas as bombas. [Paralelo: 1,33.Q-11,16 c.v.; Série: 1,22.Q-13,65 c.v.]
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0 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 |
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22,6 | 21,3 | 19,4 | 16,2 | 11,6 | 6,5 | 0,6 |
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0 | 74 | 86 | 85 | 70 | 46 | 8 |
a) Determine a vazão recalcada e a potência consumida pela bomba. [Q =
b) Necessitando-se aumentar a vazão pela adição de urna segunda bomba idêntica à outra, investigue se esta bomba deve ser instalada em série ou paralelo com a bomba original. Justifique a resposta pela determinação do acréscimo de vazão e potência consumida por ambas as bombas. [Paralelo: 1,33.Q-11,16 c.v.; Série: 1,22.Q-13,65 c.v.]
Passo 1
O enunciado dá as características da bomba (vazão, altura e rendimento em pontos tabelados) e os dados da instalação hidráulica. O que é pedido:
- (a) Determinar a vazão operante (vazão recalcada) e a potência consumida pela bomba quando se eleva água vencendo uma altura geométrica de
m por uma tubulação de diâmetro m, comprimento m e coeficiente Hazen–Williams . - (b) Se for adicionada uma segunda bomba idêntica, investigar se ela deve ser instalada em série ou em paralelo, determinando o acréscimo de vazão e a potência consumida pelas duas bombas em cada caso, e indicando qual arranjo é mais conveniente.
Dados do enunciado (retirei diretamente da tabela fornecida):
Parâmetros da tubulação: comprimento
, diâmetro
,
. Altura geométrica fixa
.
Observação: todas as contas numéricas com vazões serão feitas convertendo
para
quando necessário (
). A resolução efetiva começa no próximo passo.
Passo 2
Como encontrar a vazão de operação? Resumo do procedimento (sem desenvolver ainda os cálculos): traçamos a curva do sistema hidráulico (altura exigida pela tubulação em função da vazão) e intersectamos com a curva da bomba
. O ponto de interseção dá a vazão de operação.
Agora a fórmula que vamos usar para perdas de carga na tubulação (Hazen–Williams): é uma fórmula empiricamente muito usada para água em tubulações lisas/novas. A forma prática em unidades SI é:
onde
-
é a perda de carga na tubulação em metros; -
é o comprimento em metros; -
é a vazão em ; -
é o coeficiente Hazen–Williams (adimensional); -
é o diâmetro em metros.
A curva do sistema (altura total exigida pela tubulação) é
Explico rapidamente os termos:
significa que a perda de carga cresce mais que linear com a vazão (por isso sistemas hidráulicos “castigam” aumentos de vazão);
mostra que um pequeno aumento de diâmetro reduz muito as perdas.
Passo 3
Interpolação da curva da bomba e do rendimento: a tabela da bomba dá pontos discretos
e
. Na prática de prova a aproximação linear entre pontos adjacentes costuma ser aceita. Vou usar interpolação linear por trechos entre os pontos da tabela.
Para encontrar a vazão operante, precisamos resolver numericamente a equação
onde
é a vazão em
. Observação: a tabela usa
em
; para a fórmula de Hazen–Williams uso
.
Vamos trabalhar no intervalo onde a solução parece estar: olhando a tabela da bomba vemos que entre
e
a cabeça cai de
m para
m. A solução esperada (pista do enunciado) é perto de
, portanto usaremos interpolação linear de
no trecho
–
e resolveremos numericamente.
Interpolação linear da cabeça no trecho
–
:
com
Para o rendimento, no trecho
–
temos
e
. Interpolação linear:
Passo 4
Cálculo da curva do sistema para um valor de teste
, e comparação com
. Vou avaliar alguns valores para localizar a raiz (método de tentativa e interpolação linear entre tentativas).
Configurações numéricas fixas na fórmula Hazen–Williams:
No denominador da fórmula de HW calculamos uma constante:
Vou usar este valor numérico para acelerar os cálculos:
-
(cálculo via logaritmos), -
.
Multiplicando:.
Assim a fórmula simplificada numericamente é
O fator
, então aproximadamente
Lembre-se:
com
em
.
Agora calculo
e
em algumas tentativas para localizar o ponto de equilíbrio.
Tentativa
:
-
. -
. -
. -
-
Comparação:
em
, logo a vazão real ficará um pouco menor que
.
Tentativa
:
-
. -
. -
. -
-
Comparação:
em
. Logo a raiz está entre
e
.
Passo 5
Encontrando a raiz por interpolação linear entre as duas tentativas (
e
), usando os valores de diferença
:
- Em
: - Em
:
Linearmente, a raiz está em
Arredondando para uma leitura prática, a vazão operante é
Passo 6
Cálculo da potência consumida pela bomba no ponto de operação encontrado.
- Determinar
no ponto: usando a interpolação linear
- Determinar rendimento
por interpolação no trecho – :
- Potência hidráulica (potência entregue ao fluido) é
com
,
,
,
.
Cálculo:
- Potência absorvida (no eixo da bomba, entrada elétrica/mecânica) é
- Converter para cavalos-vapor (c.v.):
. Então
Arredondando para comparar com o enunciado:
a
. (No enunciado a resposta indicada foi
, nosso cálculo deu
— diferença pequena por arredondamentos.)
Passo 7
Agora a parte (b): duas bombas idênticas. Vamos calcular os dois arranjos.
Regra prática:
- Em paralelo: as alturas se igualam, as vazões somam. Para duas bombas idênticas em paralelo,
onde
é a vazão total do sistema (soma das vazões das bombas).
- Em série: as vazões se igualam, as alturas somam. Para duas bombas idênticas em série,
onde
é a vazão que passa por ambas as bombas.
Vou resolver numericamente cada caso, usando interpolação linear das curvas
já descrita.
Passo 8
Caso paralelo — solução numérica:
Procuramos
tal que
.
Estimativa inicial (com base na resposta esperada):
.
Calculando em
:
- Vazão por bomba
. - Interpolação de
no trecho – : inclinação . -
- Perda de carga:
. -
Comparação:
e
— estão praticamente iguais, logo
Agora a potência total:
- Rendimento por bomba em
: interpole entre ( ) e ( ):
- Potência hidráulica por bomba:
- Potência de eixo por bomba:
- Potência total (duas bombas em paralelo):
Relação com a vazão original:
Passo 9
Caso série — solução numérica:
Procuramos
tal que
.
Estimativa inicial (pista):
. Vou ajustar por iterações.
Aproximação encontrada por interpolação entre tentativas dá
.
Calculos em
:
-
. - Interpolação de
no trecho – : inclinação . -
- Soma das duas bombas:
- Perda de carga
para dá aproximadamente . - Logo
Estão balanceados, portanto
Potência total:
- Rendimento por bomba em
: interpole entre ( ) e ( ):
- Potência hidráulica por bomba:
- Potência de eixo por bomba:
- Potência total (duas bombas em série):
Relação com a vazão original:
Passo 10
Conclusão e interpretação (justificativa prática):
- Em paralelo: a vazão aumenta mais (aproximadamente
, fica ) por uma potência total menor ( ou ). - Em série: a vazão aumenta menos (aproximadamente
, fica ), e a potência total é maior ( ou ) porque cada bomba trabalha a vazões altas com rendimento ruim na região (rendimento cai muito com aumento de para essa bomba).
Portanto, se o objetivo for aumentar a vazão com a menor potência adicional total, a colocação em paralelo é a recomendada (maior acréscimo de vazão por menor consumo total).
Resposta
a)
b) Paralelo: