4- (25) Considere um forno cilíndrico com
. A parte superior (superficie 1), a base (superficie 2) e a lateral (superficie 3) do formo se aproximam do comportamento de corpo negro e são mantidos à temperatura de 700,500 e 400 K , respectivamente. Determine a taxa liquida radiante a partir da superficie 1 (20). A superficie 1 ganha ou perde calor? (5)
Dado:
Dado:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar a taxa líquida radiante proveniente da superfície 1 (a tampa superior do forno), ou seja,
(valor numérico em W). - Dizer se a superfície 1 ganha ou perde calor.
Informações fornecidas (pego diretamente do enunciado):
- Raio do cilindro:
. - Altura do cilindro:
. - Temperaturas das superfícies (em K):
- Superfície 1 (tampa superior):
. - Superfície 2 (base):
. - Superfície 3 (lateral):
.
- Superfície 1 (tampa superior):
- Comportamento próximo de corpo negro (logo emissividade
). - Fator de vista dado:
. - Constante de Stefan–Boltzmann:
.
Observações importantes que vamos usar depois:
- As áreas geométricas das três superfícies podem ser calculadas a partir de
e . - Para a superfície 1, o conjunto de fatores de vista satisfaz
. Se (tampa plana sem se ver a si mesma), então . Não se resolve ainda, só anotei o que usarei.
Passo 2
Conceitos e fórmula que vamos aplicar (explicação didática): radiosidade e balanço radiante para corpos negros dentro de uma cavidade.
- Radiosidade
: potência radiante tota l (em ) emitida pela superfície e refletida por ela. Para um corpo negro (ou emissividade ) a radiosidade é simplesmente a emissão de corpo negro:
Aqui
tem unidade
,
é a constante de Stefan–Boltzmann e
é a temperatura absoluta da superfície
em K.
-
Fator de vista
: fração da radiação emitida pela superfície que atinge diretamente a superfície . -
Balanço de potência radiante (quando as superfícies são pretas): a taxa líquida de energia radiativa que sai da superfície
é a diferença entre o que ela emite e o que recebe diretamente das outras superfícies, isto é:
Aqui
é a área da superfície
em
. Intuição:
é o total emitido por
, e
é o que, por simetria de contagens, chega efetivamente a
vindo das demais superfícies (cada
ponderado pelo fator de vista). Para superfícies pretas esse é o procedimento direto; para superfícies cinzentas havia que tratar reflexão e resistências, mas não é o caso aqui.
Vou usar essa fórmula para
. Para isso preciso de
,
e dos
.
Passo 3
Cálculo das áreas das superfícies (passo a passo simples, para poder aplicar a fórmula).
- Área da tampa superior (superfície 1), um círculo de raio
:
- Área da base (superfície 2), mesma do círculo:
- Área lateral do cilindro (superfície 3), circunferência vezes altura:
Guardei
,
e
.
Passo 4
Determinação dos fatores de vista necessários para
.
- Foi dado
. - Para a superfície 1 (uma placa plana dentro da cavidade) é razoável adotar
(uma superfície plana não vê a si mesma). - Pelo balanço de fatores de vista vale:
Como
, obtemos
Portanto usarei
e
.
Passo 5
Cálculo das radiosidades
(faça assim na prova: calcule
, depois eleve ao quadrado de novo).
Calcule primeiro
:
Agora multiplica por
:
Para facilitar leitura, arredondei um pouco os dígitos acima; valores numéricos usados a seguir:
(Se estiver sem calculadora na prova, mantenha as potências de 10 e faça multiplicações parciais; aqui mostrei o procedimento completo.)
Passo 6
Aplicar a fórmula do balanço radiante para a superfície 1:
Substituindo
,
,
e os valores de
:
Calcule os termos internos:
Somando esses termos:
Então
Agora multiplica por
:
Passo 7
Interpretação do sinal e arredondamento final:
- O valor ficou positivo:
com a convenção usada (taxa líquida radiante “proveniente da superfície 1”). Isso significa que a superfície 1 emite mais do que recebe, ou seja, ela perde calor por radiação. - Arredondando com três algarismos significativos, um resultado conveniente para anotar na prova é
Resposta
A superfície 1 perde calor.