4- (25) Considere um forno cilíndrico com \mathrm{r}=\mathrm{H}=1 \mathrm{~m}. A parte superior (superficie 1), a base (superficie 2) e a lateral (superficie 3) do formo se aproximam do comportamento de corpo negro e são mantidos à temperatura de 700,500 e 400 K , respectivamente. Determine a taxa liquida radiante a partir da superficie 1 (20). A superficie 1 ganha ou perde calor? (5)
Dado: F_{12}=0,40 ; \sigma=5,67 \times 10^{-8} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}^{4}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar a taxa líquida radiante proveniente da superfície 1 (a tampa superior do forno), ou seja, \dot{Q}_1 (valor numérico em W).
  • Dizer se a superfície 1 ganha ou perde calor.
Informações fornecidas (pego diretamente do enunciado):
  • Raio do cilindro: r=1\\ \mathrm{m}.
  • Altura do cilindro: H=1\\ \mathrm{m}.
  • Temperaturas das superfícies (em K):
    • Superfície 1 (tampa superior): T_1=700\\ \mathrm{K}.
    • Superfície 2 (base): T_2=500\\ \mathrm{K}.
    • Superfície 3 (lateral): T_3=400\\ \mathrm{K}.
  • Comportamento próximo de corpo negro (logo emissividade \varepsilon\approx1).
  • Fator de vista dado: F_{12}=0,40.
  • Constante de Stefan–Boltzmann: \sigma=5,67\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}.
Observações importantes que vamos usar depois:
  • As áreas geométricas das três superfícies podem ser calculadas a partir de r e H.
  • Para a superfície 1, o conjunto de fatores de vista satisfaz \sum_j F_{1j}=1. Se F_{11}=0 (tampa plana sem se ver a si mesma), então F_{13}=1-F_{12}. Não se resolve ainda, só anotei o que usarei.

Passo 2

Conceitos e fórmula que vamos aplicar (explicação didática): radiosidade e balanço radiante para corpos negros dentro de uma cavidade.
  • Radiosidade J_i: potência radiante tota l (em \mathrm{W/m^2}) emitida pela superfície i e refletida por ela. Para um corpo negro (ou emissividade \varepsilon=1) a radiosidade é simplesmente a emissão de corpo negro:
J_i=\sigma T_i^4.
Aqui J_i tem unidade \mathrm{W/m^2}, \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann e T_i é a temperatura absoluta da superfície i em K.
  • Fator de vista F_{ij}: fração da radiação emitida pela superfície i que atinge diretamente a superfície j.
  • Balanço de potência radiante (quando as superfícies são pretas): a taxa líquida de energia radiativa que sai da superfície i é a diferença entre o que ela emite e o que recebe diretamente das outras superfícies, isto é:
\dot{Q}_i = A_i\left(J_i - \sum_j F_{ij} J_j\right).
Aqui A_i é a área da superfície i em \mathrm{m^2}. Intuição: A_i J_i é o total emitido por i, e A_i\sum_j F_{ij}J_j é o que, por simetria de contagens, chega efetivamente a i vindo das demais superfícies (cada J_j ponderado pelo fator de vista). Para superfícies pretas esse é o procedimento direto; para superfícies cinzentas havia que tratar reflexão e resistências, mas não é o caso aqui.
Vou usar essa fórmula para i=1. Para isso preciso de A_1, J_1,J_2,J_3 e dos F_{1j}.

Passo 3

Cálculo das áreas das superfícies (passo a passo simples, para poder aplicar a fórmula).
  • Área da tampa superior (superfície 1), um círculo de raio r:
A_1=\pi r^2=\pi\cdot 1^2=\pi\\ \mathrm{m^2}.
  • Área da base (superfície 2), mesma do círculo:
A_2=\pi r^2=\pi\\ \mathrm{m^2}.
  • Área lateral do cilindro (superfície 3), circunferência vezes altura:
A_3=2\pi r H=2\pi\cdot1\cdot1=2\pi\\ \mathrm{m^2}.
Guardei A_1=\pi, A_2=\pi e A_3=2\pi.

Passo 4

Determinação dos fatores de vista necessários para i=1.
  • Foi dado F_{12}=0,40.
  • Para a superfície 1 (uma placa plana dentro da cavidade) é razoável adotar F_{11}=0 (uma superfície plana não vê a si mesma).
  • Pelo balanço de fatores de vista vale:
\sum_{j} F_{1j}=F_{11}+F_{12}+F_{13}=1.
Como F_{11}=0, obtemos
F_{13}=1-F_{12}=1-0,40=0,60.
Portanto usarei F_{12}=0,40 e F_{13}=0,60.

Passo 5

Cálculo das radiosidades J_i=\sigma T_i^4 (faça assim na prova: calcule T^2, depois eleve ao quadrado de novo).
Calcule primeiro T_i^4:
T_1^4 = 700^4 = 2{,}401\times10^{11}, \qquad T_2^4 = 500^4 = 6{,}250\times10^{10}, \qquad T_3^4 = 400^4 = 2{,}560\times10^{10}.
Agora multiplica por \sigma=5{,}67\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}:
J_1=\sigma T_1^4=5{,}67\times10^{-8}\cdot 2{,}401\times10^{11}=1{,}3613{,}7\times10^{4}\\ \mathrm{W/m^2},
J_2=\sigma T_2^4=5{,}67\times10^{-8}\cdot 6{,}250\times10^{10}=3{,}543{,}75\times10^{3}\\ \mathrm{W/m^2},
J_3=\sigma T_3^4=5{,}67\times10^{-8}\cdot 2{,}560\times10^{10}=1{,}451{,}52\times10^{3}\\ \mathrm{W/m^2}.
Para facilitar leitura, arredondei um pouco os dígitos acima; valores numéricos usados a seguir:
J_1\approx 1{,}3614\times10^{4}\\ \mathrm{W/m^2}, \qquad J_2\approx 3{,}5438\times10^{3}\\ \mathrm{W/m^2}, \qquad J_3\approx 1{,}4515\times10^{3}\\ \mathrm{W/m^2}.
(Se estiver sem calculadora na prova, mantenha as potências de 10 e faça multiplicações parciais; aqui mostrei o procedimento completo.)

Passo 6

Aplicar a fórmula do balanço radiante para a superfície 1:
\dot{Q}_1 = A_1\left(J_1 - F_{12}J_2 - F_{13}J_3\right).
Substituindo A_1=\pi, F_{12}=0,40, F_{13}=0,60 e os valores de J_i:
\dot{Q}_1 = \pi\bigl( J_1 - 0{,}40\,J_2 - 0{,}60\,J_3\bigr).
Calcule os termos internos:
0{,}40\,J_2 \approx 0{,}40\times 3{,}543{,}75\times10^{3} = 1{,}417{,}50\\ \mathrm{W/m^2},
0{,}60\,J_3 \approx 0{,}60\times 1{,}451{,}52\times10^{3} = 870{,}912\\ \mathrm{W/m^2}.
Somando esses termos:
0{,}40J_2 + 0{,}60J_3 \approx 2{,}288{,}412\\ \mathrm{W/m^2}.
Então
J_1 - 0{,}40J_2 - 0{,}60J_3 \approx 13{,}613{,}67 - 2{,}288{,}412 =11{,}325{,}258\\ \mathrm{W/m^2}.
Agora multiplica por A_1=\pi:
\dot{Q}_1 \approx \pi \times 11{,}325{,}258\\ \mathrm{W/m^2} \approx 3{,}5579\times10^{4}\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Interpretação do sinal e arredondamento final:
  • O valor ficou positivo: \dot{Q}_1>0 com a convenção usada (taxa líquida radiante “proveniente da superfície 1”). Isso significa que a superfície 1 emite mais do que recebe, ou seja, ela perde calor por radiação.
  • Arredondando com três algarismos significativos, um resultado conveniente para anotar na prova é
\dot{Q}_1 \approx 3{,}56\times10^{4}\\ \mathrm{W} \quad\text{(saindo da superfície 1)}.í

Resposta

\dot{Q}_1 \approx 3{,}56\times10^{4}\\ \mathrm{W}
A superfície 1 perde calor.

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