(DESAFIO) Um óleo de massa específica igual a 0,85 \mathrm{~g} / \mathrm{m}^{3} escoa por uma canalização de 10 cm de diâmetro. A tensão de cisalhamento na parede da canalização é de 32.362 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2} e o perfil de velocidade é dado por \mathrm{v}(\mathrm{r})=2-800 \mathrm{r}^{2}(\mathrm{~m} / \mathrm{s}), em que r é a distância radial medida a partir do eixo da tubulação. Qual é a viscosidade cinemática do óleo?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dado: massa específica (densidade) do óleo: 0,85\\ \mathrm{g}/\mathrm{m}^{3}.
Observação: essa unidade parece estar incorreta para um óleo (é muito baixa). Vou assumir que o enunciado quis dizer 0,85\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}, que é o valor físico razoável para um óleo leve. Portanto usarei a densidade\rho = 0,85\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3} = 850\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.(Se a intenção fosse realmente 0,85\\ \mathrm{g}/\mathrm{m}^{3} a resposta numérica mudaria drástica e irrealisticamente; por isso adotei a interpretação física mais plausível.)
Dado: diâmetro da tubulação: D=10\\ \mathrm{cm}=0,10\\ \mathrm{m}. Logo o raio interno éR=\frac{D}{2}=0,05\\ \mathrm{m}.
Dado: tensão de cisalhamento na parede: \tau_w=32\,362\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}.
Dado: perfil de velocidade radial:v(r)=2-800\,r^{2}\quad(\mathrm{m}/\mathrm{s}),onde r é a distância radial a partir do eixo (em metros).
Pedido: viscosidade cinemática do óleo \nu (em \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}).
Passo 2
Entender a relação entre tensão de cisalhamento, viscosidade dinâmica e gradiente de velocidade (aulas rápidas).
Para um fluido newtoniano em escoamento totalmente desenvolvido em tubo cilíndrico, a componente relevante da tensão de cisalhamento é \tau_{rz} (cisalhamento radial-axial). A lei de Newton para viscosidade diz que, localmente,\tau_{rz}=\mu\,\frac{dv}{dr},onde:
\tau_{rz} é a tensão de cisalhamento (unidade \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2});
\mu é a viscosidade dinâmica (viscosidade absoluta) em \mathrm{Pa\cdot s} = \mathrm{N\,s}/\mathrm{m}^{2};
\dfrac{dv}{dr} é o gradiente radial da velocidade (unidade \mathrm{s}^{-1}).
No ponto da parede (r=R) usa-se a igualdade entre a tensão de parede medida \tau_w e o produto \mu\,\left.\dfrac{dv}{dr}\right|_{r=R} (tomando o módulo do gradiente, porque o gradiente pode ser negativo):\mu = \frac{\tau_w}{\left|\dfrac{dv}{dr}\right|_{r=R}}.
A viscosidade cinemática \nu relaciona-se com \mu e \rho por\nu=\frac{\mu}{\rho}.Aqui \nu tem unidade \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}.
Essas fórmulas são básicas: a primeira é a definição local de tensão para fluido newtoniano; a segunda é apenas definição de viscosidade cinemática.
Passo 3
Calcular o gradiente de velocidade \dfrac{dv}{dr} a partir do perfil fornecido e avaliá-lo na parede.
O perfil é v(r)=2-800\,r^{2}. Diferenciando em relação a r:\frac{dv}{dr} = -1600\,r.
Avaliando em r=R=0,05\\ \mathrm{m}:\left.\frac{dv}{dr}\right|_{r=R} = -1600\times 0,05 = -80\quad(\mathrm{s}^{-1}).
O módulo do gradiente na parede é \left|\left.\dfrac{dv}{dr}\right|_{r=R}\right| = 80\\ \mathrm{s}^{-1}.
Explicação rápida: o sinal negativo indica que a velocidade diminui ao afastar-se do eixo (esperado); para a fórmula de \mu usamos o valor absoluto porque \tau_w é dado como magnitude.
Passo 4
Calcular a viscosidade dinâmica \mu usando \mu=\tau_w/|dv/dr|_{r=R}.
Comentário: esse valor é muito alto em termos práticos, mas decorre dos valores numéricos do enunciado (tensão de cisalhamento muito grande e gradiente relativamente pequeno).
Passo 5
Calcular a viscosidade cinemática \nu=\dfrac{\mu}{\rho} usando \rho=850\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.