2-(25) Ar, a uma pressão de 1 atm e temperatura de
, entra em um duto de 10 m de comprimento e de seção transversal circular de diâmetro igual a
, que passa através de um sótão de uma casa a uma vazão mássica de
. As paredes do duto permanecem a uma temperatura praticamente constante igual a
. Determine:
a) (16) temperatura do ar na saída do tubo;
b) (3) a temperatura de referência;
c) (6) a taxa de perda de calor a partir do duto.
Dados na
e Pr
.
a) (16) temperatura do ar na saída do tubo;
b) (3) a temperatura de referência;
c) (6) a taxa de perda de calor a partir do duto.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
- Vazão mássica:
. - Diâmetro do duto:
. - Comprimento do duto:
. - Temperatura de entrada do ar:
. - Temperatura das paredes (constante):
. - Propriedades do ar avaliadas na temperatura de referência
(fornecidas): -
, -
, -
(viscosidade cinemática), -
, -
.
-
O enunciado pede:
(a) a temperatura do ar na saída do tubo ;
(b) a temperatura de referência (a usada para avaliar propriedades);
(c) a taxa de perda de calor do duto .
(a) a temperatura do ar na saída do tubo
(b) a temperatura de referência
(c) a taxa de perda de calor do duto
Observação: como as paredes estão a temperatura constante e há escoamento interno, a estratégia é:
- calcular a velocidade média e o número de Reynolds para classificar o escoamento;
- estimar o coeficiente convectivo interno
(usar correlação adequada para escoamento turbulento em duto); - usar o balanço de energia para o fluido ao longo do comprimento com parede a temperatura constante, o que leva a uma solução exponencial para a temperatura média ao longo do duto; daí obter
e .
Não fiz ainda cálculos — isso vem nos próximos passos.
Passo 2
Área da seção e velocidade média do escoamento (mostrar como calcular e por que).
Fórmula da área da seção circular:
Substituindo
:
Relação entre vazão mássica, densidade, área e velocidade média
:
Substituindo valores:
Explicação curta:
é a velocidade média do ar no duto; é necessária para o número de Reynolds.
Passo 3
Cálculo do número de Reynolds e classificação do escoamento. Por que isso importa?
Definição do número de Reynolds para duto circular:
onde
é velocidade média,
é diâmetro e
é a viscosidade cinemática.
Substituindo:
Interpretação:
, portanto o escoamento é claramente turbulento (típico:
). Isso justifica o uso de correlações para transferência convectiva em escoamento turbulento.
Passo 4
Escolha da correlação de Nusselt e cálculo do número de Nusselt
.
Explicação das correlações: para escoamento interno turbulento em duto circular e parede com temperatura uniforme, uma correlação simples e frequente é a de Dittus–Boelter:
onde
quando o fluido está sendo aquecido pela parede (paredes mais quentes que fluido) e
quando o fluido está sendo resfriado pela parede (paredes mais frias que o fluido). Neste problema as paredes estão mais frias que o ar (
), então o fluido está sendo resfriado: usamos
.
Substituindo os valores:
Cálculo passo a passo (mostrando como avaliar potências rapidamente):
Logo
Comentário:
.
Passo 5
Cálculo do coeficiente convectivo
a partir de
e interpretação.
Relação entre
,
,
e
:
Substituindo
,
,
:
Interpretação:
é a “capacidade” da superfície em transmitir calor para o fluido por convecção; aqui é cerca de
.
Passo 6
Equação diferencial de energia para o fluido (média no corte) e sua solução — por que a temperatura decai exponencialmente.
Derivação física curta: considere a temperatura média do fluido
ao longo do duto. Em um pequeno comprimento
, a perda de energia do fluido por convecção para a parede é
, onde
é o perímetro molhado do duto. O balanço de energia do fluido em regime permanente dá:
Aqui:
-
é vazão mássica, -
é capacidade térmica mássica do fluido, -
é perímetro do duto ( ), -
igual ao coeficiente convectivo que calculamos, -
é temperatura das paredes (constante).
Esta é uma equação diferencial linear cuja solução é:
Portanto a temperatura de saída (
) é
Explicação dos termos no expoente:
-
é um número adimensional que mede a razão entre a capacidade de remoção de calor pela superfície e a capacidade térmica do fluxo no duto. Quanto maior, mais próximo fica de .
Passo 7
Cálculo numérico de
.
Primeiro calculemos o perímetro:
Produto
:
Produto
:
Razão no expoente:
Portanto
Calculemos
. Então
Interpretação física agradável: com esse comprimento e esse fluxo lento, o ar quase chega à temperatura das paredes; a queda de temperatura é de cerca de
.
Passo 8
Determinação da temperatura de referência
usada para avaliar propriedades (explicando a escolha).
Definição prática: a temperatura de referência para propriedades fluidas em problemas com parede a temperatura fixa costuma ser a temperatura de filme (média entre temperatura do fluido representativa e a parede). Uma escolha comum é
ou às vezes
. Como nos foram fornecidas propriedades já avaliadas em
e para consistência com dados do enunciado, usaremos a escolha prática:
Observação: essa é a temperatura de referência usada para as propriedades indicadas no enunciado.
Passo 9
Cálculo da taxa de perda de calor
.
Método direto: energia retirada do fluido é a vazão mássica vezes
vezes a queda de temperatura:
Substituindo:
Verificação alternativa (consistência): também vale calcular
com integração ao longo do comprimento; deve dar o mesmo resultado. Aqui usamos a forma simples e direta pela energia do fluido.
Resposta
(a)
(b)
(c)