2-(25) Ar, a uma pressão de 1 atm e temperatura de 75^{\circ} \mathrm{C}, entra em um duto de 10 m de comprimento e de seção transversal circular de diâmetro igual a 0,2 \mathrm{~m}, que passa através de um sótão de uma casa a uma vazão mássica de 0,16 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. As paredes do duto permanecem a uma temperatura praticamente constante igual a 60^{\circ} \mathrm{C}. Determine:
a) (16) temperatura do ar na saída do tubo;
b) (3) a temperatura de referência;
c) (6) a taxa de perda de calor a partir do duto.
Dados na \mathrm{T}_{\text {ref }} . \rho=1,0137 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \mathrm{cp}=1007,5 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \mathrm{K} ; \mathrm{v}=2,046 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ; \mathrm{k}=0,02917 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \mathrm{K} e Pr =0,71655.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
  • Vazão mássica: \dot m = 0,16\\ \mathrm{kg/s}.
  • Diâmetro do duto: D = 0,20\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento do duto: L = 10\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura de entrada do ar: T_{\mathrm{in}} = 75^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura das paredes (constante): T_w = 60^\circ\mathrm{C}.
  • Propriedades do ar avaliadas na temperatura de referência T_{\mathrm{ref}} (fornecidas):
    • \rho = 1,0137\\ \mathrm{kg/m^3},
    • c_p = 1007,5\\ \mathrm{J/(kg\;K)},
    • \nu = 2{,}046\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s} (viscosidade cinemática),
    • k = 0{,}02917\\ \mathrm{W/(m\;K)},
    • \mathrm{Pr} = 0{,}71655.
O enunciado pede:
(a) a temperatura do ar na saída do tubo T_{\mathrm{out}};
(b) a temperatura de referência T_{\mathrm{ref}} (a usada para avaliar propriedades);
(c) a taxa de perda de calor do duto \dot Q.
Observação: como as paredes estão a temperatura constante e há escoamento interno, a estratégia é:
  • calcular a velocidade média e o número de Reynolds para classificar o escoamento;
  • estimar o coeficiente convectivo interno h (usar correlação adequada para escoamento turbulento em duto);
  • usar o balanço de energia para o fluido ao longo do comprimento com parede a temperatura constante, o que leva a uma solução exponencial para a temperatura média ao longo do duto; daí obter T_{\mathrm{out}} e \dot Q.
    Não fiz ainda cálculos — isso vem nos próximos passos.

Passo 2

Área da seção e velocidade média do escoamento (mostrar como calcular e por que).
Fórmula da área da seção circular:
A = \frac{\pi D^{2}}{4}.
Substituindo D=0{,}20\\ \mathrm{m}:
A = \frac{\pi (0{,}20)^{2}}{4} = \pi\cdot 0{,}01 = 0{,}0314159\\ \mathrm{m^{2}}.
Relação entre vazão mássica, densidade, área e velocidade média U:
\dot m = \rho A U \quad\Rightarrow\quad U=\frac{\dot m}{\rho A}.
Substituindo valores:
U = \frac{0{,}16}{1{,}0137\times 0{,}0314159} \approx 5{,}024\\ \mathrm{m/s}.
Explicação curta: U é a velocidade média do ar no duto; é necessária para o número de Reynolds.

Passo 3

Cálculo do número de Reynolds e classificação do escoamento. Por que isso importa?
Definição do número de Reynolds para duto circular:
\mathrm{Re}=\frac{U D}{\nu},
onde U é velocidade média, D é diâmetro e \nu é a viscosidade cinemática.
Substituindo:
\mathrm{Re}=\frac{5{,}024\times 0{,}20}{2{,}046\times 10^{-6}} =\frac{1{,}0048}{2{,}046\times 10^{-6}}\approx 4{,}91\times 10^{5}.
Interpretação: \mathrm{Re}\approx 4{,}9\times10^{5}, portanto o escoamento é claramente turbulento (típico: \mathrm{Re}>4000). Isso justifica o uso de correlações para transferência convectiva em escoamento turbulento.

Passo 4

Escolha da correlação de Nusselt e cálculo do número de Nusselt \mathrm{Nu}.
Explicação das correlações: para escoamento interno turbulento em duto circular e parede com temperatura uniforme, uma correlação simples e frequente é a de Dittus–Boelter:
\mathrm{Nu} = 0{,}023\;\mathrm{Re}^{0{,}8}\;\mathrm{Pr}^{n},
onde n=0{,}4 quando o fluido está sendo aquecido pela parede (paredes mais quentes que fluido) e n=0{,}3 quando o fluido está sendo resfriado pela parede (paredes mais frias que o fluido). Neste problema as paredes estão mais frias que o ar ( T_w=60^\circ\mathrm{C}<T_{\mathrm{in}}=75^\circ\mathrm{C} ), então o fluido está sendo resfriado: usamos n=0{,}3.
Substituindo os valores:
\mathrm{Nu} = 0{,}023\times (4{,}913\times 10^{5})^{0{,}8}\times (0{,}71655)^{0{,}3}.
Cálculo passo a passo (mostrando como avaliar potências rapidamente):
  • (4{,}913\times10^{5})^{0{,}8}\approx 3{,}572\times10^{4}.
  • (0{,}71655)^{0{,}3}\approx 0{,}905.
Logo
\mathrm{Nu}\approx 0{,}023\times 3{,}572\times10^{4}\times 0{,}905 \approx 7,44\times10^{2}.
Comentário: \mathrm{Nu}\approx 744.

Passo 5

Cálculo do coeficiente convectivo h a partir de \mathrm{Nu} e interpretação.
Relação entre \mathrm{Nu}, h, k e D:
\mathrm{Nu} = \frac{h D}{k} \quad\Rightarrow\quad h = \frac{\mathrm{Nu}\;k}{D}.
Substituindo \mathrm{Nu}=744, k=0{,}02917\\ \mathrm{W/(mK)}, D=0{,}20\\ \mathrm{m}:
h = \frac{744\times 0{,}02917}{0{,}20} \approx 108{,}5\\ \mathrm{W/(m^{2}K)}.
Interpretação: h é a “capacidade” da superfície em transmitir calor para o fluido por convecção; aqui é cerca de 108{,}5\\ \mathrm{W/(m^{2}K)}.

Passo 6

Equação diferencial de energia para o fluido (média no corte) e sua solução — por que a temperatura decai exponencialmente.
Derivação física curta: considere a temperatura média do fluido T_m(x) ao longo do duto. Em um pequeno comprimento dx, a perda de energia do fluido por convecção para a parede é d\dot Q = h P\,dx\,[T_m(x)-T_w], onde P é o perímetro molhado do duto. O balanço de energia do fluido em regime permanente dá:
\dot m c_p \,\frac{dT_m}{dx} = -h P\,[T_m(x)-T_w].
Aqui:
  • \dot m é vazão mássica,
  • c_p é capacidade térmica mássica do fluido,
  • P é perímetro do duto ( P=\pi D),
  • h igual ao coeficiente convectivo que calculamos,
  • T_w é temperatura das paredes (constante).
Esta é uma equação diferencial linear cuja solução é:
T_m(x) = T_w + \bigl(T_{\mathrm{in}}-T_w\bigr)\exp\!\left(-\frac{h P}{\dot m c_p}\,x\right).
Portanto a temperatura de saída ( x=L) é
T_{\mathrm{out}} = T_w + \bigl(T_{\mathrm{in}}-T_w\bigr)\exp\!\left(-\frac{h P L}{\dot m c_p}\right).
Explicação dos termos no expoente:
  • \dfrac{hP L}{\dot m c_p} é um número adimensional que mede a razão entre a capacidade de remoção de calor pela superfície e a capacidade térmica do fluxo no duto. Quanto maior, mais próximo T_{\mathrm{out}} fica de T_w.

Passo 7

Cálculo numérico de T_{\mathrm{out}}.
Primeiro calculemos o perímetro:
P=\pi D = \pi\times 0{,}20 = 0{,}62832\\ \mathrm{m}.
Produto h P L:
h P L = 108{,}5\times 0{,}62832 \times 10 \approx 681{,}5\\ \mathrm{W/K}.
Produto \dot m c_p:
\dot m c_p = 0{,}16\times 1007{,}5 = 161{,}2\\ \mathrm{W/K}.
Razão no expoente:
\frac{h P L}{\dot m c_p} = \frac{681{,}5}{161{,}2} \approx 4{,}228.
Portanto
T_{\mathrm{out}} = 60 + (75-60)\,\exp(-4{,}228).
Calculemos \exp(-4{,}228)\approx 0{,}0146. Então
T_{\mathrm{out}} \approx 60 + 15\times 0{,}0146 \approx 60{,}22^\circ\mathrm{C}.
Interpretação física agradável: com esse comprimento e esse fluxo lento, o ar quase chega à temperatura das paredes; a queda de temperatura é de cerca de 14{,}78\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 8

Determinação da temperatura de referência T_{\mathrm{ref}} usada para avaliar propriedades (explicando a escolha).
Definição prática: a temperatura de referência para propriedades fluidas em problemas com parede a temperatura fixa costuma ser a temperatura de filme (média entre temperatura do fluido representativa e a parede). Uma escolha comum é
T_{\mathrm{ref}} = \frac{T_{\mathrm{in}} + T_{w}}{2},
ou às vezes \frac{T_{\mathrm{bulk}}+T_w}{2}. Como nos foram fornecidas propriedades já avaliadas em T_{\mathrm{ref}} e para consistência com dados do enunciado, usaremos a escolha prática:
T_{\mathrm{ref}} = \frac{75^\circ\mathrm{C} + 60^\circ\mathrm{C}}{2} = 67{,}5^\circ\mathrm{C}.
Observação: essa é a temperatura de referência usada para as propriedades indicadas no enunciado.

Passo 9

Cálculo da taxa de perda de calor \dot Q.
Método direto: energia retirada do fluido é a vazão mássica vezes c_p vezes a queda de temperatura:
\dot Q = \dot m c_p (T_{\mathrm{in}}-T_{\mathrm{out}}).
Substituindo:
\dot Q = 0{,}16\times 1007{,}5 \times (75 - 60{,}219) \approx 161{,}2\times 14{,}781 \approx 2383\\ \mathrm{W}.
Verificação alternativa (consistência): também vale calcular \dot Q = h A_s \Delta T_{\mathrm{log}} com integração ao longo do comprimento; deve dar o mesmo resultado. Aqui usamos a forma simples e direta pela energia do fluido.

Resposta

(a) T_{\mathrm{out}}\approx 60{,}22^\circ\mathrm{C}
(b) T_{\mathrm{ref}}=67{,}5^\circ\mathrm{C}
(c) \dot Q\approx 2{,}38\times 10^{3}\\ \mathrm{W}

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