Um engenheiro de produção foi designado para projetar uma caixa (embalagem) para o transporte e exportação de uma determinada fruta. O engenheiro sabe que na degradação da glicose da fruta ocorre formação de calor. Este calor liberado, se não for transferido, irá apodrecer a fruta em poucos dias. Se isso ocorrer, a fruta chegara a seu destino impropria para o consumo. Assim, para projetar a embalagem que a fruta será armazenada durante a viagem, o engenheiro precisa calcular alguns parâmetros. A temperatura da camada limite do ar ambiente é de 16{ }^{\circ} \mathrm{C}. Considere que a fruta em questão seja uma maça (esfera) com as seguintes características: diâmetro médio de 80 mm , densidade de 840 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3}, condutividade térmica de 0,1 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} e a densidade volumétrica de potência liberada em forma de calor é 1000 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3}.
(a) (20 pontos) Encontre a distribuição radial da temperatura em função do raio r_{0}, T_{\infty}, q, K e h.
(b) ( 10 pontos) Determine o coeficiente de transferência de calor por convecção necessário para manter a temperatura do centro em torno de 20^{\circ} \mathrm{C}.
(c) ( 10 pontos) Transforme 1000 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3} \mathrm{em} \mathrm{J} / \mathrm{Kg} dia.

Passo 1

Vou listar exatamente o que o enunciado dá e o que é pedido, bem simples para a gente não se perder.
Dados fornecidos:
  • Temperatura do ar ambiente: T_{\infty}=16^\circ\mathrm{C}.
  • A fruta é uma esfera de diâmetro médio 80\\ \mathrm{mm}, logo raio externo \;r_{0}=0,04\\ \mathrm{m}.
  • Densidade: \rho=840\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Condutividade térmica: K=0,1\\ \mathrm{W/(m\,K)}.
  • Densidade volumétrica de potência (geração uniforme de calor): q=1000\\ \mathrm{W/m^{3}}.
O enunciado pede:
(a) Encontrar a distribuição radial da temperatura T(r) em função de r_{0},\,T_{\infty},\,q,\,K e h (onde h é o coeficiente convectivo na superfície).
(b) Determinar o valor de h necessário para manter a temperatura do centro em torno de 20^\circ\mathrm{C}.
(c) Converter 1000\\ \mathrm{W/m^{3}} em \mathrm{J/kg} por dia.

Passo 2

Equação diferencial e condição de simetria — ensino passo a passo como fazer na prova.
  1. Modelo físico e equação:
  • Estamos no regime estacionário (temperatura não varia com o tempo).
  • Há geração volumétrica uniforme q dentro da esfera e condução térmica com condutividade K.
  • Pela simetria esférica, a equação de conservação de energia para temperatura radial T(r) é
\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}K\frac{dT}{dr}\right)+q=0.
Explicando: o termo \frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}(r^{2}K dT/dr) representa o fluxo condutivo divergente e q é a geração interna por unidade de volume.
  1. Simplificação (condutividade K constante):
K\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dT}{dr}\right) + q = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dT}{dr}\right) = -\frac{q}{K}.
  1. Integração 1ª vez:
    Integramos em relação a r:
r^{2}\frac{dT}{dr} = -\frac{q}{K}\cdot\frac{r^{3}}{3} + C_{1} = -\frac{q r^{3}}{3K} + C_{1},
onde C_{1} é constante de integração.
  1. Condição no centro (simetria):
  • No centro da esfera ( r\to0) o gradiente dT/dr deve ser finito; por simetria temos dT/dr(0)=0.
  • Se C_{1}\neq0, o termo C_{1}/r^{2} em dT/dr seria singular em r=0. Portanto C_{1}=0.
Assim
\frac{dT}{dr} = -\frac{q r}{3K}.
  1. Integração 2ª vez:
T(r) = -\frac{q}{3K}\cdot\frac{r^{2}}{2} + C_{2} = -\frac{q r^{2}}{6K} + C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração.

Passo 3

Aplicando a condição de contorno convectiva na superfície e obtendo a fórmula final simbólica.
Condição na superfície r=r_{0}: fluxo condutivo para fora equilibrado pela convecção com o ar:
-k\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r_{0}} = h\bigl(T(r_{0})-T_{\infty}\bigr),
aqui usamos K como condutividade, então
- K\left(-\frac{q r_{0}}{3K}\right) = h\bigl(T(r_{0})-T_{\infty}\bigr).
O lado esquerdo simplifica para
\frac{q r_{0}}{3} = h\bigl(T(r_{0})-T_{\infty}\bigr).
Logo
T(r_{0}) = T_{\infty} + \frac{q r_{0}}{3h}.
Agora voltamos à expressão geral T(r) = -\dfrac{q r^{2}}{6K} + C_{2} e calificamos C_{2} usando T(r_{0}):
-\frac{q r_{0}^{2}}{6K} + C_{2} = T_{\infty} + \frac{q r_{0}}{3h}
\Rightarrow C_{2} = T_{\infty} + \frac{q r_{0}}{3h} + \frac{q r_{0}^{2}}{6K}.
Substituindo C_{2} em T(r) obtemos a distribuição radial final em termos dos parâmetros pedidos:
\boxed{\,T(r)=T_{\infty}+\frac{q r_{0}}{3h}+\frac{q}{6K}\bigl(r_{0}^{2}-r^{2}\bigr)\,}
Explicação rápida do formato: a primeira adição \dfrac{q r_{0}}{3h} representa a queda de temperatura associada à resistência convectiva externa; o termo \dfrac{q}{6K}(r_{0}^{2}-r^{2}) é a distribuição parabólica interna devido à geração e condução.

Passo 4

Determinar h para manter o centro a 20^\circ\mathrm{C}.
Temperatura no centro ( r=0) da expressão:
T(0) = T_{\infty} + \frac{q r_{0}}{3h} + \frac{q r_{0}^{2}}{6K}.
Queremos T(0)=20^\circ\mathrm{C} com T_{\infty}=16^\circ\mathrm{C}. Isolando h:
T(0)-T_{\infty} = \frac{q r_{0}}{3h} + \frac{q r_{0}^{2}}{6K}
\Rightarrow \frac{q r_{0}}{3h} = T(0)-T_{\infty} - \frac{q r_{0}^{2}}{6K}
\Rightarrow h = \frac{q r_{0}}{3\left(T(0)-T_{\infty} - \dfrac{q r_{0}^{2}}{6K}\right)}.
Agora plugamos os números passo a passo (faça isso na prova com calma, eu mostro aqui certinho):
  • q=1000\\ \mathrm{W/m^{3}},
  • r_{0}=0,04\\ \mathrm{m},
  • K=0,1\\ \mathrm{W/(m\,K)},
  • T(0)-T_{\infty}=20^\circ\mathrm{C}-16^\circ\mathrm{C}=4^\circ\mathrm{C}.
Calcule o termo \dfrac{q r_{0}^{2}}{6K}:
\frac{q r_{0}^{2}}{6K} = \frac{1000\cdot(0,04)^{2}}{6\cdot 0,1} = \frac{1000\cdot 0,0016}{0,6} = \frac{1,6}{0,6}=2,\overline{6}\\ \mathrm{K}.
Então o termo no denominador:
T(0)-T_{\infty} - \frac{q r_{0}^{2}}{6K} = 4 - 2,\overline{6} = 1,\overline{3}\\ \mathrm{K}.
Agora
h = \frac{q r_{0}}{3\cdot 1,\overline{3}} = \frac{1000\cdot 0,04}{4} = \frac{40}{4}=10\\ \mathrm{W/(m^{2}K)}.
Portanto o coeficiente convectivo necessário é h=10\\ \mathrm{W/(m^{2}K)}. (Na hora da prova, mostre as contas como acima; algumas simplificações aritméticas são fáceis de fazer de cabeça se organizar os fatores.)

Passo 5

Comentário prático e interpretação (motivação e ânimo).
  • O valor h\approx10\\ \mathrm{W/(m^{2}K)} é razoável para convecção natural leve a moderada ao redor de pequenos frutos em caixas; se houver ventilação forçada, h pode ser muito maior, o que facilitaria manter o centro frio.
  • Se precisar reduzir a temperatura central sem aumentar h, pode-se trabalhar reduzindo geração (não controlável aqui) ou aumentar condutividade efetiva (por exemplo, empacotamento que melhora troca térmica entre frutas e frio), ou reduzir tamanho (raio menor reduz salto interno).
Força! Você já tem a fórmula geral que vale pra qualquer q, K, r_{0}, h e o procedimento para achar h. Na prova siga exatamente esses passos, escreva as condições de contorno e explique por que C_{1}=0 (simetria no centro).

Passo 6

Conversão de unidades — parte (c).
Querem transformar 1000\\ \mathrm{W/m^{3}} em \mathrm{J/kg} por dia. Passo a passo:
  1. Converter potência volumétrica em potência por massa dividindo pela densidade \rho:
\text{potência específica}=\frac{q}{\rho}=\frac{1000\\ \mathrm{W/m^{3}}}{840\\ \mathrm{kg/m^{3}}} = \frac{1000}{840}\\ \mathrm{W/kg}=1,190476\ldots\\ \mathrm{W/kg}.êí
  1. 1\\ \mathrm{W/kg}=1\\ \mathrm{J/(s\cdot kg)}. Multiplicar por segundos em um dia ( 86400\\ \mathrm{s}) para obter \mathrm{J/(kg\cdot day)}:
\frac{1000}{840}\cdot 86400 =1{,}190476\ldots \times 86400 \approx 102857{,}14\\ \mathrm{J/(kg\cdot day)}.
Arredondando: \approx 1,03\times 10^{5}\\ \mathrm{J/(kg\cdot day)}.

Resposta

(a) T(r)=T_{\infty}+\dfrac{q r_{0}}{3h}+\dfrac{q}{6K}\bigl(r_{0}^{2}-r^{2}\bigr)
(b) h=10\\ \mathrm{W/(m^{2}K)}
(c) 1000\\ \mathrm{W/m^{3}} \approx 1,02857\times 10^{5}\\ \mathrm{J/(kg\cdot day)}

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