Um engenheiro de produção foi designado para projetar uma caixa (embalagem) para o transporte e exportação de uma determinada fruta. O engenheiro sabe que na degradação da glicose da fruta ocorre formação de calor. Este calor liberado, se não for transferido, irá apodrecer a fruta em poucos dias. Se isso ocorrer, a fruta chegara a seu destino impropria para o consumo. Assim, para projetar a embalagem que a fruta será armazenada durante a viagem, o engenheiro precisa calcular alguns parâmetros. A temperatura da camada limite do ar ambiente é de 16{ }^{\circ} \mathrm{C}. Considere que a fruta em questão seja uma maça (esfera) com as seguintes características: diâmetro médio de 80 mm , densidade de 840 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3}, condutividade térmica de 0,1 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} e a densidade volumétrica de potência liberada em forma de calor é 1000 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3}.
(a) (20 pontos) Encontre a distribuição radial da temperatura em função do raio r_{0}, T_{\infty}, q, K e h.
(b) ( 10 pontos) Determine o coeficiente de transferência de calor por convecção necessário para manter a temperatura do centro em torno de 20^{\circ} \mathrm{C}.
(c) ( 10 pontos) Transforme 1000 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3} \mathrm{em} \mathrm{J} / \mathrm{Kg} dia.
Passo 1
Vou listar exatamente o que o enunciado dá e o que é pedido, bem simples para a gente não se perder.
Dados fornecidos:
Temperatura do ar ambiente: T_{\infty}=16^\circ\mathrm{C}.
A fruta é uma esfera de diâmetro médio 80\\ \mathrm{mm}, logo raio externo \;r_{0}=0,04\\ \mathrm{m}.
Densidade: \rho=840\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Condutividade térmica: K=0,1\\ \mathrm{W/(m\,K)}.
Densidade volumétrica de potência (geração uniforme de calor): q=1000\\ \mathrm{W/m^{3}}.
O enunciado pede:
(a) Encontrar a distribuição radial da temperatura T(r) em função de r_{0},\,T_{\infty},\,q,\,K e h (onde h é o coeficiente convectivo na superfície).
(b) Determinar o valor de h necessário para manter a temperatura do centro em torno de 20^\circ\mathrm{C}.
(c) Converter 1000\\ \mathrm{W/m^{3}} em \mathrm{J/kg} por dia.
Passo 2
Equação diferencial e condição de simetria — ensino passo a passo como fazer na prova.
Modelo físico e equação:
Estamos no regime estacionário (temperatura não varia com o tempo).
Há geração volumétrica uniforme q dentro da esfera e condução térmica com condutividade K.
Pela simetria esférica, a equação de conservação de energia para temperatura radial T(r) é
Explicação rápida do formato: a primeira adição \dfrac{q r_{0}}{3h} representa a queda de temperatura associada à resistência convectiva externa; o termo \dfrac{q}{6K}(r_{0}^{2}-r^{2}) é a distribuição parabólica interna devido à geração e condução.
Passo 4
Determinar h para manter o centro a 20^\circ\mathrm{C}.
Portanto o coeficiente convectivo necessário é h=10\\ \mathrm{W/(m^{2}K)}. (Na hora da prova, mostre as contas como acima; algumas simplificações aritméticas são fáceis de fazer de cabeça se organizar os fatores.)
Passo 5
Comentário prático e interpretação (motivação e ânimo).
O valor h\approx10\\ \mathrm{W/(m^{2}K)} é razoável para convecção natural leve a moderada ao redor de pequenos frutos em caixas; se houver ventilação forçada, h pode ser muito maior, o que facilitaria manter o centro frio.
Se precisar reduzir a temperatura central sem aumentar h, pode-se trabalhar reduzindo geração (não controlável aqui) ou aumentar condutividade efetiva (por exemplo, empacotamento que melhora troca térmica entre frutas e frio), ou reduzir tamanho (raio menor reduz salto interno).
Força! Você já tem a fórmula geral que vale pra qualquer q, K, r_{0}, h e o procedimento para achar h. Na prova siga exatamente esses passos, escreva as condições de contorno e explique por que C_{1}=0 (simetria no centro).
Passo 6
Conversão de unidades — parte (c).
Querem transformar 1000\\ \mathrm{W/m^{3}} em \mathrm{J/kg} por dia. Passo a passo:
Converter potência volumétrica em potência por massa dividindo pela densidade \rho: